Một nghệ nhân tại làng nghề đúc đồng, nhận chế tác các mẫu đôn trang trí cao cấp bằng đồng. Mỗi chiếc đôn có dạng khối tròn xoay đặc, cao \(50\,cm\), với thiết kế mềm mại và cân đối quanh một trục thẳng đứng. Khi cắt chiếc đôn bởi một mặt cắt bất kỳ đi qua qua trục đối xứng, ta thu được một thiết diện giới hạn bởi hai đường parabol đối xứng nhau qua trục này. Theo yêu cầu thiết kế: Mặt trên và mặt đáy của đôn đều là hình tròn có đường kính \(40\,cm\); phần thân được bo thon đều về phía trung tâm, tại đó đường kính nhỏ nhất là \(30\,cm\). Biết khối lượng riêng của đồng là \(8960\,\,kg/{m^3}\), giá đồng là 220 nghìn đồng cho mỗi kilôgam và chi phí gia công cho mỗi sản phẩm là 10 triệu đồng (lượng đồng hao hụt trong quá trình gia công được xem là không đáng kể). Tổng chi phí để hoàn thiện một chiếc đôn theo thiết kế trên là bao nhiêu triệu đồng (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả đến hàng phần mười)

                                                                          

Mặt cầu có tâm \(O\) và bán kính \(R = 120\) nên có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} = {120^2} = 14\;400\).

Suy ra a) đúng.

Đường thẳng \(AB\) đi qua  \(A\left( {6;8;0} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {2;1;2} \right)\) nên có phương trình chính tắc\(\frac{{x - 6}}{2} = \frac{{y - 8}}{1} = \frac{z}{2}\). Suy ra b) đúng.

Với vị trí \(B\) có độ cao \({z_B} = 8\), suy ra \(B\left( {14;12;8} \right)\) và \(AB = \sqrt {{8^2} + {4^2} + {8^2}}  = 12\). Suy ra c) đúng.

Gọi \({t_1}\;\left( s \right)\;\left( {{t_1} \le 300} \right)\) là thời gian vật thể đi từ \(A\) đến \(B\), ta có phương trình \(\int\limits_0^{{t_1}} {\left( {20 + 0,6t - 0,0015{t^2}} \right)} dt = 12\;000\)

\( \Leftrightarrow 20t + 0,3{t^2} - 0,0005{t^3}|_0^{{t_1}} = 12\;000\)\( \Leftrightarrow 20{t_1} + 0,3t_1^2 - 0,0005t_1^3 = 12\;000 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{t_1} =  - 200\;(l)\\{t_1} = 600\;(l)\\{t_1} = 200\;(n)\end{array} \right.\)

Dễ thấy, \(A\) và \(B\) đều nằm trong mặt cầu (do \(OA = 10 < 120;\;OB = 2\sqrt {101}  < 120\)). Khi đến \(B\) mà muốn thoát nhanh nhất thì sẽ đi đến \(C\) với \(C\) là giao điểm của \(OB\) và mặt cầu.

a) Đúng

Ta có: \(Q'\left( t \right) = f\left( t \right) - g\left( t \right) = 400.{e^{ - 0,01t}} - 20.{e^{0,04t}}\).

Hàm số \(Q\left( t \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(h\left( t \right) = 400.{e^{ - 0,01t}} - 20.{e^{0,04t}}\).

b) Đúng

Ta có: \(Q\left( t \right) = \int\limits_{}^{} {Q'\left( t \right)\,{\rm{d}}t = \int {\left( {400.{e^{ - 0,01t}} - 20.{e^{0,04t}}} \right)} } \,{\rm{d}}t =  - 40000{e^{ - 0,01t}} - 500{e^{0,04t}} + C\).

\(Q\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow  - 40000 - 500 + C = 0 \Leftrightarrow C = 40500\).

Vậy \(Q\left( t \right) =  - 40000{e^{ - 0,01t}} - 500{e^{0,04t}} + 40500\).

c) Sai

Ta có: \(Q\left( {20} \right) =  - 40000{e^{ - 0,01.20}} - 500.{e^{0,04.20}} + 40500 \approx 6638\)mAh.

Khi đó pin được khoảng \(\frac{{6638}}{{20000}}.100 \approx 33,19\) mAh.

d) Sai

Dây sạc thường ngắt khi điện tích lớn nhất, tức là \(Q'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow f\left( t \right) = g\left( t \right)\).

\( \Leftrightarrow 400.{e^{ - 0,01t}} = 20.{e^{0,04t}}\)

\( \Rightarrow {e^{0,05t}} = 20\).      

\( \Rightarrow t = \frac{{\ln 20}}{{0,05}} \approx 59,91\).

Khi đó: \(Q\left( {59,91} \right) \approx 13035,99\) mAh.

Dây sạc thông minh ngắt khi \(f\left( t \right) \ge 3g\left( t \right)\), tức là tại thời điểm \(f\left( t \right) = 3g\left( t \right)\)

\( \Leftrightarrow 400.{e^{ - 0,01t}} = 60.{e^{0,04t}}\)

\( \Leftrightarrow {e^{0,05t}} = \frac{{20}}{3}\).

\( \Rightarrow t = \frac{{\ln \frac{{20}}{3}}}{{0,05}} \approx 37,94\).

Khi đó: \(Q\left( {37,94} \right) \approx 10848,49\) mAh.

Vậy \(Q\left( {59,91} \right) - Q\left( {37,94} \right) \approx 13035,99 - 10848,49 \approx 2187,5\) mAh.