Một nghệ nhân tại làng nghề đúc đồng, nhận chế tác các mẫu đôn trang trí cao cấp bằng đồng. Mỗi chiếc đôn có dạng khối tròn xoay đặc, cao \(50\,cm\), với thiết kế mềm mại và cân đối quanh một trục thẳng đứng. Khi cắt chiếc đôn bởi một mặt cắt bất kỳ đi qua qua trục đối xứng, ta thu được một thiết diện giới hạn bởi hai đường parabol đối xứng nhau qua trục này. Theo yêu cầu thiết kế: Mặt trên và mặt đáy của đôn đều là hình tròn có đường kính \(40\,cm\); phần thân được bo thon đều về phía trung tâm, tại đó đường kính nhỏ nhất là \(30\,cm\). Biết khối lượng riêng của đồng là \(8960\,\,kg/{m^3}\), giá đồng là 220 nghìn đồng cho mỗi kilôgam và chi phí gia công cho mỗi sản phẩm là 10 triệu đồng (lượng đồng hao hụt trong quá trình gia công được xem là không đáng kể). Tổng chi phí để hoàn thiện một chiếc đôn theo thiết kế trên là bao nhiêu triệu đồng (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả đến hàng phần mười)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Xoay chiếc đôn theo chiều nằm ngang và chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ dưới đây
Khi đó chiếc đôn là khối tròn xoay được sinh ra khi xoay hình phẳng giới hạn bởi parabol \(\left( P \right)\) và các đường thẳng \[x = - 25,\,\,x = 25\] xung quanh trục \(Ox\).
Gọi \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\). Dựa vào yêu cầu thiết kế, ta có \(\left( P \right)\) đi qua các điểm \(A\left( {25;20} \right)\), \(B\left( { - 25;20} \right)\) và có đỉnh là \[I\left( {0;15} \right)\].
Do đó, ta có hệ phương trình \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{625a + 25b + c = 20}\\{625a - 25b + c = 20}\\{c = 15\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{1}{{125}}}\\{b = 0}\\{c = 15}\end{array}} \right.\].
Khi đó thể tích chiếc đôn là: \[V = \pi \int\limits_{ - 25}^{25} {{{\left( {\frac{1}{{125}}{x^2} + 15} \right)}^2}dx = 14000\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right)} \]
Ta tính được khối lượng đồng cần dùng là: \[m = \frac{{14000\pi }}{{{{10}^6}}}.8960 = \frac{{3136\pi }}{{25}}\,\,\left( {kg} \right)\].
Vậy chi phí cần bỏ ra để làm một chiếc đôn là: \[\frac{{3136\pi }}{{25}}\,.0,22 + 10 \approx 96,7\] triệu đồng.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Lời giải
Mặt cầu có tâm \(O\) và bán kính \(R = 120\) nên có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} = {120^2} = 14\;400\).
Suy ra a) đúng.
Đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\left( {6;8;0} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow u = \left( {2;1;2} \right)\) nên có phương trình chính tắc\(\frac{{x - 6}}{2} = \frac{{y - 8}}{1} = \frac{z}{2}\). Suy ra b) đúng.
Với vị trí \(B\) có độ cao \({z_B} = 8\), suy ra \(B\left( {14;12;8} \right)\) và \(AB = \sqrt {{8^2} + {4^2} + {8^2}} = 12\). Suy ra c) đúng.
Gọi \({t_1}\;\left( s \right)\;\left( {{t_1} \le 300} \right)\) là thời gian vật thể đi từ \(A\) đến \(B\), ta có phương trình \(\int\limits_0^{{t_1}} {\left( {20 + 0,6t - 0,0015{t^2}} \right)} dt = 12\;000\)
\( \Leftrightarrow 20t + 0,3{t^2} - 0,0005{t^3}|_0^{{t_1}} = 12\;000\)\( \Leftrightarrow 20{t_1} + 0,3t_1^2 - 0,0005t_1^3 = 12\;000 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{t_1} = - 200\;(l)\\{t_1} = 600\;(l)\\{t_1} = 200\;(n)\end{array} \right.\)
Dễ thấy, \(A\) và \(B\) đều nằm trong mặt cầu (do \(OA = 10 < 120;\;OB = 2\sqrt {101} < 120\)). Khi đến \(B\) mà muốn thoát nhanh nhất thì sẽ đi đến \(C\) với \(C\) là giao điểm của \(OB\) và mặt cầu.
Câu 2
Lời giải
Chọn C
Ta có \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos x{\rm{d}}x} = \left. {\sin x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \sin \frac{\pi }{2} - \sin 0 = 1\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập