Trong một sảnh lớn của một công ty, có một lối đi vào khu làm việc. Công ty đang thử nghiệm tại lối đi này một hệ thống cửa tự động có sử dụng công nghệ nhận diện gương mặt. Khi nhận diện gương mặt là nhân viên thì hệ thống mới mở cửa để người đó vào. 

Đối với nhân viên công ty, hệ thống nhận diện đúng với xác suất 98%.

Đối với khách, hệ thống nhận diện nhầm là nhân viên với xác suất 10%.

Biết rằng trong sảnh của công ty, tỉ lệ nhân viên công ty là 80%, còn lại là khách.

Xoay chiếc đôn theo chiều nằm ngang và chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ dưới đây

Khi đó chiếc đôn là khối tròn xoay được sinh ra khi xoay hình phẳng giới hạn bởi parabol \(\left( P \right)\)  và các đường thẳng \[x =  - 25,\,\,x = 25\] xung quanh trục \(Ox\).

Gọi \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\). Dựa vào yêu cầu thiết kế, ta có \(\left( P \right)\) đi qua các điểm \(A\left( {25;20} \right)\), \(B\left( { - 25;20} \right)\) và có đỉnh là \[I\left( {0;15} \right)\].

Do đó, ta có hệ phương trình \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{625a + 25b + c = 20}\\{625a - 25b + c = 20}\\{c = 15\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{1}{{125}}}\\{b = 0}\\{c = 15}\end{array}} \right.\].

Khi đó thể tích chiếc đôn là: \[V = \pi \int\limits_{ - 25}^{25} {{{\left( {\frac{1}{{125}}{x^2} + 15} \right)}^2}dx = 14000\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right)} \]

Ta tính được khối lượng đồng cần dùng là: \[m = \frac{{14000\pi }}{{{{10}^6}}}.8960 = \frac{{3136\pi }}{{25}}\,\,\left( {kg} \right)\].

Vậy chi phí cần bỏ ra để làm một chiếc đôn là: \[\frac{{3136\pi }}{{25}}\,.0,22 + 10 \approx 96,7\] triệu đồng.

Mặt cầu có tâm \(O\) và bán kính \(R = 120\) nên có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} = {120^2} = 14\;400\).

Suy ra a) đúng.

Đường thẳng \(AB\) đi qua  \(A\left( {6;8;0} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {2;1;2} \right)\) nên có phương trình chính tắc\(\frac{{x - 6}}{2} = \frac{{y - 8}}{1} = \frac{z}{2}\). Suy ra b) đúng.

Với vị trí \(B\) có độ cao \({z_B} = 8\), suy ra \(B\left( {14;12;8} \right)\) và \(AB = \sqrt {{8^2} + {4^2} + {8^2}}  = 12\). Suy ra c) đúng.

Gọi \({t_1}\;\left( s \right)\;\left( {{t_1} \le 300} \right)\) là thời gian vật thể đi từ \(A\) đến \(B\), ta có phương trình \(\int\limits_0^{{t_1}} {\left( {20 + 0,6t - 0,0015{t^2}} \right)} dt = 12\;000\)

\( \Leftrightarrow 20t + 0,3{t^2} - 0,0005{t^3}|_0^{{t_1}} = 12\;000\)\( \Leftrightarrow 20{t_1} + 0,3t_1^2 - 0,0005t_1^3 = 12\;000 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{t_1} =  - 200\;(l)\\{t_1} = 600\;(l)\\{t_1} = 200\;(n)\end{array} \right.\)

Dễ thấy, \(A\) và \(B\) đều nằm trong mặt cầu (do \(OA = 10 < 120;\;OB = 2\sqrt {101}  < 120\)). Khi đến \(B\) mà muốn thoát nhanh nhất thì sẽ đi đến \(C\) với \(C\) là giao điểm của \(OB\) và mặt cầu.