Một viên pin dự phòng có dung lượng thiết kế là 20000 mAh đang vừa xạc vừa cấp điện cho một thiết bị khác. Trong quá trình này, các kĩ sư sử dụng một mô hình gần đúng để mô tả tại thời điểm \(t\) phút\(\left( {t \ge 0} \right)\) kể từ khi khảo sát như sau:

Tốc độ nạp điện vào pin là \(f\left( t \right) = 400.{e^{ - 0,01t}}\) (mAh/phút).

Do thiết bị hoạt động và hao phí trên mạch điện nên điện tích bị tiêu hao. Tốc độ tiêu hao là \(g\left( t \right) = 20.{e^{0,04t}}\) (mAh/phút).

Gọi \(Q\left( t \right)\) là lượng điện tích tích lũy được trong pin tại thời điểm \(t\) phút kể từ khi bắt đầu khảo sát. Biết rằng tốc độ biến thiên của \(Q\left( t \right)\) là \(Q'\left( t \right) = f\left( t \right) - g\left( t \right)\) và tại thời điểm ban đầu, lượng điện tích tích lũy bằng 0.

a) Đúng

Ta có: \(Q'\left( t \right) = f\left( t \right) - g\left( t \right) = 400.{e^{ - 0,01t}} - 20.{e^{0,04t}}\).

Hàm số \(Q\left( t \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(h\left( t \right) = 400.{e^{ - 0,01t}} - 20.{e^{0,04t}}\).

b) Đúng

Ta có: \(Q\left( t \right) = \int\limits_{}^{} {Q'\left( t \right)\,{\rm{d}}t = \int {\left( {400.{e^{ - 0,01t}} - 20.{e^{0,04t}}} \right)} } \,{\rm{d}}t =  - 40000{e^{ - 0,01t}} - 500{e^{0,04t}} + C\).

\(Q\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow  - 40000 - 500 + C = 0 \Leftrightarrow C = 40500\).

Vậy \(Q\left( t \right) =  - 40000{e^{ - 0,01t}} - 500{e^{0,04t}} + 40500\).

c) Sai

Ta có: \(Q\left( {20} \right) =  - 40000{e^{ - 0,01.20}} - 500.{e^{0,04.20}} + 40500 \approx 6638\)mAh.

Khi đó pin được khoảng \(\frac{{6638}}{{20000}}.100 \approx 33,19\) mAh.

d) Sai

Dây sạc thường ngắt khi điện tích lớn nhất, tức là \(Q'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow f\left( t \right) = g\left( t \right)\).

\( \Leftrightarrow 400.{e^{ - 0,01t}} = 20.{e^{0,04t}}\)

\( \Rightarrow {e^{0,05t}} = 20\).      

\( \Rightarrow t = \frac{{\ln 20}}{{0,05}} \approx 59,91\).

Khi đó: \(Q\left( {59,91} \right) \approx 13035,99\) mAh.

Dây sạc thông minh ngắt khi \(f\left( t \right) \ge 3g\left( t \right)\), tức là tại thời điểm \(f\left( t \right) = 3g\left( t \right)\)

\( \Leftrightarrow 400.{e^{ - 0,01t}} = 60.{e^{0,04t}}\)

\( \Leftrightarrow {e^{0,05t}} = \frac{{20}}{3}\).

\( \Rightarrow t = \frac{{\ln \frac{{20}}{3}}}{{0,05}} \approx 37,94\).

Khi đó: \(Q\left( {37,94} \right) \approx 10848,49\) mAh.

Vậy \(Q\left( {59,91} \right) - Q\left( {37,94} \right) \approx 13035,99 - 10848,49 \approx 2187,5\) mAh.