Trong các số sau: \(\sqrt {49} ;\,\,\sqrt {\frac{9}{{49}}} ;\,\,\sqrt {0,9} ;\,\,\sqrt {0,09} \), số vô tỉ là

a) Xét \[\Delta ABM\] và \[\Delta ACM\] có:

\[AB = AC\] (do \[\Delta ABC\] cân tại \[A\]);

\[AM\] là cạnh chung;

\[MB = MC\] (do \[M\] là trung điểm của \[BC\]).

Do đó \[\Delta ABM = \Delta ACM\] (c.c.c).

b) Do \[\Delta ABM = \Delta ACM\] (câu a) nên \(\widehat {BAM} = \widehat {CAM}\) (hai góc tương ứng).

Xét \[\Delta AHM\] và \[\Delta AKM\] có:

\(\widehat {AHM} = \widehat {AKM} = 90^\circ \);

\[AM\] là cạnh chung;

\(\widehat {HAM} = \widehat {KAM}\) (do \(\widehat {BAM} = \widehat {CAM}\))

Do đó \[\Delta AHM = \Delta AKM\] (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra \[MH = MK\] (hai cạnh tương ứng).

c) Do \[\Delta AHM = \Delta AKM\] (câu b) nên \[AH = AK\] (hai cạnh tương ứng).

Xét \[\Delta AHI\] và \[\Delta AKJ\] có:

\(\widehat {AHI} = \widehat {AKJ} = 90^\circ \);

\[AH = AK\] (chứng minh trên);

\(\widehat {JAI}\) là góc chung.

Do đó \[\Delta AHI = \Delta AKJ\] (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra \[AI = AJ\] (hai cạnh tương ứng)

• \[\Delta AIJ\] có \[AI = AJ\] nên cân tại \[A\], suy ra \[\widehat {AJI} = \widehat {AIJ}\].

Ta có \[\widehat {AJI} + \widehat {AIJ} + \widehat {JAI} = 180^\circ \] (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra \[\widehat {AJI} = \widehat {AIJ} = \frac{{180^\circ - \widehat {JAI}}}{2}\]          (1)

• \[\Delta ABC\] cân tại \[A\] suy ra \[\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \frac{{180^\circ - \widehat {BAC}}}{2}\]          (2)

Từ (1) và (2) ta có \[\widehat {AJI} = \widehat {ABC} = \frac{{180^\circ - \widehat {BAC}}}{2}\]

Mà hai góc \(\widehat {AJI}\) và \(\widehat {ABC}\) ở vị trí đồng vị nên \[BC\parallel IJ\].

Với mọi \[x\] ta có:

• \[\left| {2x + 3} \right| + \left| {2x - 1} \right| = \left| {2x + 3} \right| + \left| {1 - 2x} \right| \ge \left| {2x + 3 + 1 - 2x} \right|\]

Hay \[\left| {2x + 3} \right| + \left| {2x - 1} \right| \ge 4\]           (1)

• \({\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0\) nên \(3{\left( {x + 1} \right)^2} + 2 \ge 2\)

Suy ra \[\frac{8}{{3{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 2}} \le \frac{8}{2} = 4\]          (2)

Từ (1) và (2) ta có để \[\left| {2x + 3} \right| + \left| {2x - 1} \right| = \frac{8}{{3{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 2}}\] thì:

\[\left| {2x + 3} \right| + \left| {2x - 1} \right| = \frac{8}{{3{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 2}} = 4\]

Điều này xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {2x + 3} \right)\left( {1 - 2x} \right) \ge 0\,\,\,\,\left( * \right)\\{\left( {x + 1} \right)^2} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {**} \right)\end{array} \right.\)

Giải (**): \({\left( {x + 1} \right)^2} = 0\)

                  \(x + 1 = 0\)

                       \(x = - 1\)

Với \(x = - 1\) thay vào (*) ta được: \(\left[ {2.\left( { - 1} \right) + 3} \right]\left[ {1 - 2.\left( { - 1} \right)} \right] = 3 \ge 0\) (thỏa mãn).

Vậy \(x = - 1\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.