Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\) và hai điểm \(A\left( {1\,;1\,;3} \right)\), \(B\left( {21\,;9\,; - 13} \right)\). Giả sử điểm \(M\left( {a\,;b\,;c} \right)\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) sao cho \(3M{A^2} + M{B^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị của biểu thức \(T = a \cdot b \cdot c\) bằng bao nhiêu?

Đáp án: \(49\)

Góc nhị diện \([S,BD,C]\) chính là góc giữa hai mặt phẳng \((SBD)\) và mặt phẳng đáy \(\left( {ABCD} \right)\).

Giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng \(BD\).

Kẻ \(AH \bot BD\) tại \(H\).

Vì \(SA \bot (ABCD)\) nên\(SA \bot BD\).

Ta có: \(AH \bot BD\)và \(BD \bot SA \Rightarrow BD \bot (SAH)\).

Từ đó suy ra\(BD \bot SH\).

Vậy góc giữa hai mặt phẳng \((SBD)\) và \((ABCD)\) là góc \(\widehat {SHA} = \alpha \).

Trong tam giác vuông \(ABD\) (vuông tại\(A\)): \(BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}}  = \sqrt {{a^2} + {{(a\sqrt 3 )}^2}}  = 2a\).

Đường cao \(AH\) trong tam giác vuông\(ABD\):  \(AH = \frac{{AB \cdot AD}}{{BD}} = \frac{{a \cdot a\sqrt 3 }}{{2a}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Xét tam giác \(SAH\) vuông tại \(A\) (do \(SA \bot (ABCD)\)  nên\(SA \bot AH\)):

\(\tan \alpha  = \frac{{SA}}{{AH}} = \frac{a}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\).

Suy ra: \(\alpha  = \arctan \left( {\frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right) \approx 49,1^\circ \).

Làm tròn đến hàng đơn vị, số đo góc nhị diện \([S,BD,C]\) là 49°.

Đáp án: 11,4.

Do tính đối xứng của hình vẽ qua trục tung \(Oy\), chúng ta có thể tính diện tích phần bên phải rồi nhân đôi.

·            Nhánh dưới: Gồm cung \[OP\] và\(PK\).

o     Cung \[OP\] (từ \(x = 0\)đến\(x = \sqrt {14} \)): \(y = h(x) = 0,13{x^2}\)

o     Cung \(PK\) (từ \(x = \sqrt {14} \) đến \(x = 6\)): \(y = g(x) = 0,1{x^2} + 0,41\)

·            Nhánh trên: Gồm các đoạn thẳng và cung\(FG\).

o     Đoạn\(EF\): Nằm trên đường thẳng hoành độ \(x = 0,35\). Điểm \(E\) có tung độ \(2,65\), điểm \(F\)thuộc \(f(x)\) nên có tung độ \(f(0,35) = 0,11{(0,35)^2} + 1 \approx 1,013\).

o     Cung \(FG\)(từ \(x = 0,35\) đến \(x = 5,7\)): \(y = f(x) = 0,11{x^2} + 1\)

o     Đoạn thẳng đứng \(GH\)(tại \(x = 5,7\)): Nối từ cung \(f(x)\) xuống cung \(g(x)\).

Diện tích cần tính là tổng của 3 phần chính bên phải trục:

·            Phần 1: Hình chữ nhật nhỏ ở giữa (giới hạn bởi \(x = 0\) đến \(x = 0,35\))

Được giới hạn trên bởi đoạn \(DE\)(\(y = 2,65\)) và giới hạn dưới bởi cung \(h(x)\).

\({S_1} = \int_0^{0,35} {(2,65 - 0,13{x^2})} {\rm{d}}x \approx 0,9256\)

·            Phần 2: Phần đường cong từ \(F\) đến \(P\) (giới hạn bởi \(x = 0,35\) đến \(x = \sqrt {14} \))

Giới hạn trên là \(f(x)\), giới hạn dưới là \(h(x)\).

\({S_2} = \int_{0,35}^{\sqrt {14} } {(0,11{x^2} + 1 - 0,13{x^2})} {\rm{d}}x = \int_{0,35}^{\sqrt {14} } {(1 - 0,02{x^2})} {\rm{d}}x \approx 3,0426\)

·            Phần 3: Phần đường cong từ \(P\) đến \(G\) (giới hạn bởi \(x = \sqrt {14} \) đến \(x = 5,7\))

Giới hạn trên là \(f(x)\), giới hạn dưới là \(g(x)\).

\({S_3} = \int_{\sqrt {14} }^{5,7} {(0,11{x^2} + 1 - (} 0,1{x^2} + 0,41)){\rm{d}}x = \int_{\sqrt {14} }^{5,7} {(0,01{x^2} + 0,59)} {\rm{d}}x \approx 1,5982\)

·            Phần 4: Từ \(x = 5,7\) đến \(x = 6\)

+ Tìm phương trình đường thẳng \(GK\)

Tọa độ điểm \(G\): \({x_G} = 5,7 \Rightarrow {y_G} = f(5,7) = 0,11{(5,7)^2} + 1 = 4,5739\). Vậy \(G(5,7;4,5739)\).

Tọa độ điểm \(K\): \({x_K} = 6 \Rightarrow {y_K} = g(6) = 0,1{(6)^2} + 0,41 = 4,01\). Vậy \(K(6;4,01)\).

Phương trình đường thẳng \(GK\)có dạng \(y = ax + b\):

Hệ số góc \(a = \frac{{{y_K} - {y_G}}}{{{x_K} - {x_G}}} = \frac{{4,01 - 4,5739}}{{6 - 5,7}} = \frac{{ - 0,5639}}{{0,3}} \approx  - 1,879667\).

Phương trình: \(y - 4,01 =  - 1,879667\left( {x - 6} \right) \Rightarrow {y_{GK}} =  - 1,879667x + 15,288\)

+ Tính \({S_4}\) (Phần giới hạn bởi đoạn \(GK\)và \(g(x)\) từ \(x = 5,7\) đến \(x = 6\)):

\(\begin{array}{l}{S_4} = \int_{5,7}^6 {({y_{GK}} - g(} x)){\rm{d}}x\\ = \int_{5,7}^6 {( - 1,879667x + 15,288 - (} 0,1{x^2} + 0,41)){\rm{d}}x\end{array}\)

\( = \int_{5,7}^6 {( - 0,1{x^2} - 1,879667x + 14,878)} {\rm{d}}x\)      \( \Rightarrow {S_4} \approx 48,234 - 48,0964 = 0,1376\)

+ Diện tích một nửa: \({S_h} = {S_1} + {S_2} + {S_3} + {S_4} \approx 0,92565 + 3,04279 + 1,59816 + 0,1376 = 5,7042\)

Vậy diện tích phần con đường được tô hình viên gạch là \(S = 2{S_h} = 2 \times 5,7042 = 11,4084 \approx 11,4\).