Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\) và hai điểm \(A\left( {1\,;1\,;3} \right)\), \(B\left( {21\,;9\,; - 13} \right)\). Giả sử điểm \(M\left( {a\,;b\,;c} \right)\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) sao cho \(3M{A^2} + M{B^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị của biểu thức \(T = a \cdot b \cdot c\) bằng bao nhiêu?

Đáp án: 11,4.

Do tính đối xứng của hình vẽ qua trục tung \(Oy\), chúng ta có thể tính diện tích phần bên phải rồi nhân đôi.

·            Nhánh dưới: Gồm cung \[OP\] và\(PK\).

o     Cung \[OP\] (từ \(x = 0\)đến\(x = \sqrt {14} \)): \(y = h(x) = 0,13{x^2}\)

o     Cung \(PK\) (từ \(x = \sqrt {14} \) đến \(x = 6\)): \(y = g(x) = 0,1{x^2} + 0,41\)

·            Nhánh trên: Gồm các đoạn thẳng và cung\(FG\).

o     Đoạn\(EF\): Nằm trên đường thẳng hoành độ \(x = 0,35\). Điểm \(E\) có tung độ \(2,65\), điểm \(F\)thuộc \(f(x)\) nên có tung độ \(f(0,35) = 0,11{(0,35)^2} + 1 \approx 1,013\).

o     Cung \(FG\)(từ \(x = 0,35\) đến \(x = 5,7\)): \(y = f(x) = 0,11{x^2} + 1\)

o     Đoạn thẳng đứng \(GH\)(tại \(x = 5,7\)): Nối từ cung \(f(x)\) xuống cung \(g(x)\).

Diện tích cần tính là tổng của 3 phần chính bên phải trục:

·            Phần 1: Hình chữ nhật nhỏ ở giữa (giới hạn bởi \(x = 0\) đến \(x = 0,35\))

Được giới hạn trên bởi đoạn \(DE\)(\(y = 2,65\)) và giới hạn dưới bởi cung \(h(x)\).

\({S_1} = \int_0^{0,35} {(2,65 - 0,13{x^2})} {\rm{d}}x \approx 0,9256\)

·            Phần 2: Phần đường cong từ \(F\) đến \(P\) (giới hạn bởi \(x = 0,35\) đến \(x = \sqrt {14} \))

Giới hạn trên là \(f(x)\), giới hạn dưới là \(h(x)\).

\({S_2} = \int_{0,35}^{\sqrt {14} } {(0,11{x^2} + 1 - 0,13{x^2})} {\rm{d}}x = \int_{0,35}^{\sqrt {14} } {(1 - 0,02{x^2})} {\rm{d}}x \approx 3,0426\)

·            Phần 3: Phần đường cong từ \(P\) đến \(G\) (giới hạn bởi \(x = \sqrt {14} \) đến \(x = 5,7\))

Giới hạn trên là \(f(x)\), giới hạn dưới là \(g(x)\).

\({S_3} = \int_{\sqrt {14} }^{5,7} {(0,11{x^2} + 1 - (} 0,1{x^2} + 0,41)){\rm{d}}x = \int_{\sqrt {14} }^{5,7} {(0,01{x^2} + 0,59)} {\rm{d}}x \approx 1,5982\)

·            Phần 4: Từ \(x = 5,7\) đến \(x = 6\)

+ Tìm phương trình đường thẳng \(GK\)

Tọa độ điểm \(G\): \({x_G} = 5,7 \Rightarrow {y_G} = f(5,7) = 0,11{(5,7)^2} + 1 = 4,5739\). Vậy \(G(5,7;4,5739)\).

Tọa độ điểm \(K\): \({x_K} = 6 \Rightarrow {y_K} = g(6) = 0,1{(6)^2} + 0,41 = 4,01\). Vậy \(K(6;4,01)\).

Phương trình đường thẳng \(GK\)có dạng \(y = ax + b\):

Hệ số góc \(a = \frac{{{y_K} - {y_G}}}{{{x_K} - {x_G}}} = \frac{{4,01 - 4,5739}}{{6 - 5,7}} = \frac{{ - 0,5639}}{{0,3}} \approx  - 1,879667\).

Phương trình: \(y - 4,01 =  - 1,879667\left( {x - 6} \right) \Rightarrow {y_{GK}} =  - 1,879667x + 15,288\)

+ Tính \({S_4}\) (Phần giới hạn bởi đoạn \(GK\)và \(g(x)\) từ \(x = 5,7\) đến \(x = 6\)):

\(\begin{array}{l}{S_4} = \int_{5,7}^6 {({y_{GK}} - g(} x)){\rm{d}}x\\ = \int_{5,7}^6 {( - 1,879667x + 15,288 - (} 0,1{x^2} + 0,41)){\rm{d}}x\end{array}\)

\( = \int_{5,7}^6 {( - 0,1{x^2} - 1,879667x + 14,878)} {\rm{d}}x\)      \( \Rightarrow {S_4} \approx 48,234 - 48,0964 = 0,1376\)

+ Diện tích một nửa: \({S_h} = {S_1} + {S_2} + {S_3} + {S_4} \approx 0,92565 + 3,04279 + 1,59816 + 0,1376 = 5,7042\)

Vậy diện tích phần con đường được tô hình viên gạch là \(S = 2{S_h} = 2 \times 5,7042 = 11,4084 \approx 11,4\).

Đáp án: 303

Bát giác đều nội tiếp trong đường tròn tâm \(O\).

+ Lấy ba đỉnh trong tám đỉnh sẽ tạo thành một tam giác \(n\left( \Omega  \right) = C_8^3 = 56\).

+ Gọi là biến cố A “lấy được tam giác vuông”

Tam giác vuông khi có một cạnh là đường kính của đường tròn \(O\) và đỉnh còn lại khác với hai đỉnh của cạnh là đường kính. Bát diện đều có bốn đường chéo là đường kính đường tròn \(O\), đỉnh còn lại lấy trong sáu đỉnh

\(n\left( A \right) = 4.6 = 24\).

+ Xác suất của biến cố A: \(p\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{24}}{{56}} = \frac{3}{7}\)

+ Gọi là biến cố B “ba số lập thành cấp số cộng”

Xét các bộ sô có công sai

\(d = 1\) có \(6\) bộ ((1;2;3), (2;3;4); (3;4;5); (4;5;6); (5;6;7); (6;7;8))

\(d = 2\) có \(4\) bộ ((1;3;5); (2;4;6); (3;5;7); (4;6;8))

\(d = 3\) có \(2\) bộ ((1; 4;7); (2;5;8))

+ \(n\left( B \right) = 6 + 4 + 2 = 12\)

+ Xác suất của biến cố B: \(p\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{12}}{{56}} = \frac{3}{{14}}\)

Hai biến cố A và B độc lập nên xác suất thu được một tam giác vuông với ba số trên ba đỉnh của tam giác (theo một thứ tự nào đó) lập thành một cấp số cộng là

\(p\left( {AB} \right) = p\left( A \right).p\left( B \right) = \frac{3}{7}.\frac{3}{{14}} = \frac{9}{{98}}\).

Vậy \(m = 9;\,n = 98 \Rightarrow m + 3n = 9 + 3.98 = 303\).