Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) có \(AM\) là đường trung tuyến và \(\widehat C = 54^\circ \).

     a. Tính số đo góc \(\widehat {\rm{A}}\).

b)      b.  Trên tia đối của tia \(MA\) lấy điểm \(D\) sao cho \(AM = MD\).

                 Chứng minh \(\Delta AMC = \Delta DMB\) và \(AC = BD\).

a) Tìm \[x,y\] biết \[\frac{x}{2} = \frac{y}{{ - 5}}\] và \[x - y = 14\]

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

\[\begin{array}{l}\frac{x}{2} = \frac{y}{{ - 5}} = \frac{{x - y}}{{2 - \left( { - 5} \right)}} = \frac{{14}}{7} = 2\\ \Rightarrow x = 2.2 = 4;y = 2.\left( { - 5} \right) = - 10\end{array}\]

b) Dũng và Đạt cùng nhau nuôi thỏ, Dũng nuôi được 5 con. Đạt nuôi được 6 con. Hai bạn bán được tổng cộng 2,2 triệu đồng. Tính số tiền mỗi bạn nhận được, biết rằng số tiền chia tỉ lệ theo số thỏ mỗi bạn đã nuôi.

Hướng dẫn giải:

Gọi số tiền bạn Dũng nhận được là x (triệu đồng), bạn Đạt nhận được là y (triệu đồng),\[\left( {x,y > 0} \right)\].

Do hai bạn bán được tổng cộng 2,2 triệu đồng nên \[x + y = 2,2\].

Vì số tiền mỗi bạn nhận được tỉ lệ theo số thỏ mỗi bạn đã nuôi nên \[\frac{x}{5} = \frac{y}{6}\]

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\[\begin{array}{l}\frac{x}{5} = \frac{y}{6} = \frac{{x + y}}{{5 + 6}} = \frac{{2,2}}{{11}} = 0,2\\ \Rightarrow x = 0,2.5 = 1;y = 0,2.6 = 1,2\end{array}\]

Vậy bạn Dũng nhận được 1 triệu đồng, bạn Đạt nhận được 1,2 triệu đồng.

c) Theo dự định, một nhóm thợ có 35 người sẽ xây một tòa nhà trong 168 ngày. Nhưng khi bắt đầu làm, có một số người không tham gia được nên nhóm thợ chỉ còn 28 người. Hỏi khi đó nhóm thợ phải mất bao lâu để xong ngôi nhà (giả sử năng suất làm việc của mỗi người là như nhau).

Hướng dẫn giải:

Gọi thời gian để nhóm thợ hoàn thành công việc là x (ngày), \[\left( {x > 0} \right)\]

Vì khối lượng công việc không đổi và năng suất làm việc của mỗi người là như nhau nên số thợ và thời gian hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Áp dụng tính chất của 2 đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có:

\[28.x = 35.168 \Rightarrow x = \frac{{35.168}}{{28}} = 210\]

Ba điểm A, B, C tạo thành ba đỉnh của tam giác ABC

Vì O cách đều ba đỉnh A, B, C \[ \Rightarrow {\rm{OA = OB = OC}}\]

Có: \[{\rm{OA = OB }} \Rightarrow \]điểm O thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB.

       \[{\rm{OB = OC }} \Rightarrow \]điểm O thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC.

       \[{\rm{OA = OC }} \Rightarrow \]điểm O thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AC.

Do đó: O là giao điểm của ba đường trung trực.

Vậy vị trí đặt cẩu tháp là điểm O là giao điểm của ba đường trung trực của \(\Delta ABC\).