Một chiếc đèn đường có bán kính phủ sáng là \(700\)m (ánh sáng phát ra từ đèn là các chùm ánh sáng toả ra từ bóng đèn) và vị trí của bóng đèn được xác định trên hệ trục toạ độ \[Oxyz\] (đơn vị trên mỗi trục là 100 mét) là \[I\left( {2;5;5} \right)\] và gốc toạ độ \[O\] là một điểm trên mặt đất. Giả sử cột đèn có dạng đường thẳng đứng, hướng lên và mặt đất là mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\]. Người đặt một tấm bạt hứng sáng đủ lớn sao cho tấm bạt đi qua gốc toạ độ và một điểm nằm trên cột đèn, cách bóng đèn 400m, đồng thời tấm bạt tạo với mặt đất một góc \[\alpha \] có \[\sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt {30} }}\]. Xem tấm bạt là một mặt phẳng. Khi đó, ánh sáng từ đèn được tấm bạt hứng vào tạo thành một hình tròn. Bán kính của hình tròn đó bằng bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Xét mệnh đề a)

Mặt ngoài quả bóng là mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {2\,;\,\, - 1\,;\,\, - 1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 6 \) nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b)

Đường thẳng d: \(\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 3}} = \frac{z}{1}\) qua \(A\left( { - 2\,;\,\, - 1\,;\,\,0} \right)\) và có vectơ chỉ phương \({\vec u_d} = \left( {2\,;\,\, - 3\,;\,\,1} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {AI}  = \left( {4\,;\,\,0\,;\,\, - 1} \right)\,;\,\,\left[ {{{\vec u}_d}\,,\,\,\overrightarrow {AI} } \right] = \left( {3\,;\,\,6\,;\,\,12} \right)\).

Do đó \(d\left( {I\,,\,\,d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {{{\vec u}_d}\,,\,\,\overrightarrow {AI} } \right]} \right|}}{{\left| {{{\vec u}_d}} \right|}} = \frac{{\sqrt {{3^2} + {6^2} + {{12}^2}} }}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\) nên mệnh đề b) sai

Xét mệnh đề c)

Xét mệnh đề a)

Đạo hàm của hàm số là: \(f'\left( x \right) = 1 - \sin x + \sqrt 3 \cos x\) nên mệnh đề a) sai

Xét mệnh đề b)

Để hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\,\frac{\pi }{2}} \right)\) thì \(f'\left( x \right) < 0,\,\forall x \in \left( {0;\,\frac{\pi }{2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow 1 - \sin x + \sqrt 3 \cos x < 0 \Leftrightarrow 1 - 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) < 0\)

Xét trên khoảng \(x \in \left( {0;\,\frac{\pi }{2}} \right)\) ta có \[x + \frac{\pi }{3} \in \left( {\frac{\pi }{3};\,\,\frac{{5\pi }}{6}} \right)\] suy ra \(0 \le x \le \frac{\pi }{2}\) mệnh đề b) đúng

Xét mệnh đề c)

Ta có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 1 - 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Xét trên khoảng \(\left( {0;\,2\pi } \right)\) thì phương trình có hai nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{11\pi }}{6}\\x = \frac{\pi }{2}\end{array} \right.\). Đây là hai nghiệm đơn, suy ra hàm số có hai điểm cực trị nên mệnh đề c) đúng

Xét mệnh đề d)

Xét trên đoạn \(\left[ {0;\,\pi } \right]\) thì hàm số chỉ có một điểm cực trị là \(x = \frac{\pi }{2}\)

Với \(x = 0 \Rightarrow f\left( 0 \right) = 1\)

Với \(x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2} - \sqrt 3 \)

Với \(x = \pi  \Rightarrow f\left( \pi  \right) = \pi  - 1\)

So sánh các giá trị thì giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ {0;\,\pi } \right]\) bằng \(\pi  - 1\)

Vậy mệnh đề d) sai