Một chiếc đèn đường có bán kính phủ sáng là \(700\)m (ánh sáng phát ra từ đèn là các chùm ánh sáng toả ra từ bóng đèn) và vị trí của bóng đèn được xác định trên hệ trục toạ độ \[Oxyz\] (đơn vị trên mỗi trục là 100 mét) là \[I\left( {2;5;5} \right)\] và gốc toạ độ \[O\] là một điểm trên mặt đất. Giả sử cột đèn có dạng đường thẳng đứng, hướng lên và mặt đất là mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\]. Người đặt một tấm bạt hứng sáng đủ lớn sao cho tấm bạt đi qua gốc toạ độ và một điểm nằm trên cột đèn, cách bóng đèn 400m, đồng thời tấm bạt tạo với mặt đất một góc \[\alpha \] có \[\sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt {30} }}\]. Xem tấm bạt là một mặt phẳng. Khi đó, ánh sáng từ đèn được tấm bạt hứng vào tạo thành một hình tròn. Bán kính của hình tròn đó bằng bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Gọi tấm bạt là một mặt phẳng \(\left( P \right)\), theo đề ta có \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(O\left( {0;0;0} \right)\), điểm \(A\left( {2;5;1} \right)\) và tạo với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) một góc \[\alpha \] có \[\sin \alpha  = \frac{1}{{\sqrt {30} }}\].

Ta có đường thẳng \(OA\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {OA}  = \left( {2;5;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)\)

Khi đó: \(\sin \left( {OA;\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{{\left| {2.0 + 5.0 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {5^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {30} }}\) suy ra \(\left( {OA;\left( {Oxy} \right)} \right) = \left( {\left( P \right);\left( {Oxy} \right)} \right)\).

Suy ra giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( {Oxy} \right)\) vuông góc với \(OA\).

Gọi \[d = \left( P \right) \cap \left( {Oxy} \right) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {{u_d}}  \bot \overrightarrow {{u_{OA}}} }\\{\overrightarrow {{u_d}}  \bot \overrightarrow k }\end{array}} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_{OA}}} ,\overrightarrow k } \right] = \left( {5; - 2;0} \right)\]

Do bóng đèn có bán kính phủ sáng là 700 m nên vùng ánh sáng chiếu ra có dạng một hình cầu tâm \[I\left( {2;5;5} \right)\], bán kính \(R = 7\). Ta có: \[d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 2.2 - 5.5 + 29.5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {5^2} + {{29}^2}} }} = \frac{{2\sqrt {870} }}{{15}}\].

Gọi bán kính đường tròn giao tuyến là \(r\) rồi áp dụng định lý Pytago, ta có:

\(r = \sqrt {{R^2} - {d^2}}  = \sqrt {{7^2} - {{\left( {\frac{{2\sqrt {870} }}{{15}}} \right)}^2}}  \approx 5,79\).

Vậy bán kính đường tròn thu được trên tấm bạt là \[579\](m)