Trong một cảnh dựng phim có một ngôi nhà, mái nhà là hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có chiều cao là \(2\) mét. Trong hệ tọa độ \(Oxyz\) (đơn vị đo trên các trục tính bằng mét) với các điểm ở đáy là \(A\left( {6;\,4;\,2} \right)\),\(B\left( {6;\,6;\,2} \right)\),\(C\left( {4;\,6;\,2} \right)\) và \(D\left( {4;\,4;\,2} \right)\), trong đó \(S\) là đỉnh của mái nhà

           

Xét mệnh đề a)

Đáy của mái nhà nằm trên mặt phẳng \(z = 2 \Leftrightarrow z - 2 = 0\)

Xét mệnh đề b)

Khối chóp \(S.ABCD\) là một tứ giác đều nên \(ABCD\) là một hình vuông

Gọi \(H\) là hình chiếu của đỉnh \(S\) xuống \(\left( {ABCD} \right)\) thì \(H\) là tâm của hình vuông \(ABCD\)

Khi đó \(H = \frac{{A + C}}{2} = \left( {5;\,5;\,2} \right)\) nên tọa độ \(S\left( {5;\,5;4} \right)\) nên mệnh đề b) sai

Xét mệnh đề c)

Mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) có phương trình \(y = 0\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {0;\,1;\,0} \right)\)

Một vectơ pháp tuyến của \(\left( {SBC} \right)\) là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left[ {\overrightarrow {SB} ;\,\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {0;\,4;\,2} \right)\)

Khi đó: \[\cos \varphi  = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\] nên mệnh đề c) đúng

Ta có: \(\overrightarrow {LB}  = \left( {1;\, - 4;\,0} \right);\,\overrightarrow {LC}  = \left( { - 1;\, - 4;\,0} \right)\) và \(\overrightarrow {LS}  = \left( {0;\, - 5;\,2} \right)\)

Do các điểm \(S',\,B',\,C'\) đều thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) nên \(y = 0\)

Phương trình tham số của đường thẳng \(LB:\,\left\{ \begin{array}{l}x = 6 + t\\y = 6 - 4t\\z = 2\end{array} \right. \Rightarrow 6 - 4t = 0 \Leftrightarrow t = 1,5 \Rightarrow B'\left( {7,5;\,0;\,2} \right)\)

Phương trình tham số của đường thẳng \(LC:\,\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - t\\y = 6 - 4t\\z = 2\end{array} \right. \Rightarrow 6 - 4t = 0 \Leftrightarrow t = 1,5 \Rightarrow C'\left( {2,5;\,0;\,2} \right)\)

Phương trình tham số của đường thẳng \(LS:\,\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 5 - 5t\\z = 4 + 2t\end{array} \right.\)\( \Rightarrow 5 - 5t = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow S'\left( {5;\,0;\,6} \right)\)

Vậy diện tích của hình chiếu là: \({S_{S'B'C'}} = \frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {S'C'} ;\,\overrightarrow {S'B'} } \right| = 10\)(m2) nên mệnh đề d) đúng