Trong bộ môn billiards \(9\) bóng (các bóng được đánh số từ \(1\) đến \(9\)) có \(3\) quả bóng mục tiêu là \(1,\,4\) và \(8\). Cơ thủ X chọn ngẫu nhiên \(3\) quả, sau đó cơ thủ Y chọn ngẫu nhiên \(3\) quả từ các quả còn lại. Biết rằng sau khi chọn, cơ thủ X đang có lợi thế hơn cơ thủ Y (tức là số bóng mục tiêu của X nhiều hơn của Y). Hãy tính xác suất để cơ thủ Y không giữ bất kỳ quả bóng mục tiêu nào (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Gọi \(T\left( t \right)\) là nhiệt độ của ly trà tại thời điểm \(t\)(giờ) và nhiệt độ của môi trường là \(25\)°C

Tốc độ thay đổi nhiệt độ của vật thể tỉ lệ thuận với sự chênh lệch nhiệt độ giữa vật thể và môi trường nên \(\frac{{T'\left( t \right)}}{{\left( {T\left( t \right) - 25} \right)}} = k \Leftrightarrow T'\left( t \right) = k\left( {T\left( t \right) - 25} \right)\) (trong đó \(k\) là hằng số tỷ lệ)

Ta đã biết \(T'\left( t \right) = \frac{{dT}}{{dt}}\) nên phương trình trở thành \(\frac{{dT}}{{dt}} = k\left( {T - 25} \right)\)

Lấy nguyên hàm hai vế: \(\int {\frac{1}{{\left( {T - 25} \right)}}d\left( T \right)}  = \int {kt}  \Rightarrow \ln \left| {T - 25} \right| = kt + C\)\( \Leftrightarrow \left| {T - 25} \right| = {e^{kt + C}} = {e^{kt}}.{e^C}\)

Do nhiệt độ của ly trà luôn hơn hơn hoặc bằng nhiệt độ của môi trường nên \(T - 25 \ge 0\) nên ta có thể phá dấu trị tuyệt đối: \(T - 25 = {e^C}.{E^{kt}}\)

Đặt \(A = {e^C}\) (Với \(A\) là một hằng số dương tùy ý) suy ra \[T\left( t \right) - 25 = A.{e^{kt}} \Leftrightarrow T\left( t \right) = 25 + A.{e^{kt}}\]

Tại \(t = 0\)(10 giờ) thì \(T = 65\) nên \(65 = 25 + A.{e^{k.0}} \Rightarrow 65 = 25 + A \Rightarrow A = 40\)

Tại \(t = 1\)(11 giờ) thì \(T = 45\) nên \(45 = 25 + 40.{e^{k.1}} \Rightarrow 45 = 25 + 40.{e^k} \Leftrightarrow 20 = 40.{e^k} \Rightarrow {e^k} = 0,5\)

Vậy lúc này phương trình \(T\left( t \right) = 25 + 40.{\left( {{e^k}} \right)^t} = 25 + 40.{\left( {0,5} \right)^t}\)

Nhiệt độ lúc pha trà là \(95\)°C nên \(95 = 25 + 40.{\left( {0,5} \right)^t} \Rightarrow {\left( {0,5} \right)^t} = 1,75 \Rightarrow t = {\log _{0,5}}\left( {1,75} \right)\)

Khi \(t = {\log _{0,5}}\left( {1,75} \right) \approx  - 0,807535\)(dấu âm thể hiện thời điểm pha trà nằm trước mốc thời gian \(t = 0\), tức là trước \(10\) giờ)

Đổi sang phút ta có \(0,80735.60 \approx 48,44\)(phút) nên cốc trà được pha trước lúc bấm giờ \(48\) phút

Gọi \(I,\,J\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB\) và \(CD\)

Các tam giác \(ABC\), \(ABD\) đều có \(I\) là trung điểm \(AB\)nên \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot CI\\AB \bot DI\end{array} \right.\)

Suy ra \(AB \bot \left( {ICD} \right)\) mà \(IJ \subset \left( {ICD} \right) \Rightarrow AB \bot IJ\) \(\left( 1 \right)\)

Tương tự, các tam giác \(ACD\),\(BCD\) đều có \(J\) là trung điểm \(CD\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AJ\\CD \bot BJ\end{array} \right.\)

Suy ra \(CD \bot \left( {ABJ} \right)\) mà \(IJ \subset \left( {JAB} \right) \Rightarrow CD \bot IJ\) \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(IJ\) là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\)

Ta có: \(CI = \frac{{2\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \); \(IJ = \sqrt {C{I^2} - C{J^2}}  = \sqrt {3 - 1}  = \sqrt 2  \approx 1,41\).

Vậy khoảng cách hai đường thẳng AB, CD xấp xỉ 1,41cm