Trong giờ sinh hoạt STEM, các bạn học sinh thực hiện một thí nghiệm về sự tỏa nhiệt. Một ly trà nóng vừa được pha xong với nhiệt độ ban đầu là \(95\)°C và đặt lên bàn trong phòng thí nghiệm có nhiệt độ không đổi là \(25\)°C. Các bạn bắt đầu bấm đồng hồ đo đạc lúc 10 giờ đúng. Lúc này nhiệt độ của ly trà đo được là \(65\)°C. Đúng 1 giờ sau, nhiệt độ của ly trà đo được giảm xuống còn \(45\)°C. Biết rằng tốc độ thay đổi nhiệt độ của vật thể tỉ lệ thuận với sự chênh lệch nhiệt độ giữa vật thể và môi trường. Hỏi cốc trà được pha trước lúc các bạn học sinh bắt đầu bấm giờ bao nhiêu phút (Kết quả là tròn đến hàng đơn vị)
Câu hỏi trong đề: Đề ôn thi Tốt nghiệp THPT Toán có đáp án - Đề số 3 !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
Gọi \(T\left( t \right)\) là nhiệt độ của ly trà tại thời điểm \(t\)(giờ) và nhiệt độ của môi trường là \(25\)°C
Tốc độ thay đổi nhiệt độ của vật thể tỉ lệ thuận với sự chênh lệch nhiệt độ giữa vật thể và môi trường nên \(\frac{{T'\left( t \right)}}{{\left( {T\left( t \right) - 25} \right)}} = k \Leftrightarrow T'\left( t \right) = k\left( {T\left( t \right) - 25} \right)\) (trong đó \(k\) là hằng số tỷ lệ)
Ta đã biết \(T'\left( t \right) = \frac{{dT}}{{dt}}\) nên phương trình trở thành \(\frac{{dT}}{{dt}} = k\left( {T - 25} \right)\)
Lấy nguyên hàm hai vế: \(\int {\frac{1}{{\left( {T - 25} \right)}}d\left( T \right)} = \int {kt} \Rightarrow \ln \left| {T - 25} \right| = kt + C\)\( \Leftrightarrow \left| {T - 25} \right| = {e^{kt + C}} = {e^{kt}}.{e^C}\)
Do nhiệt độ của ly trà luôn hơn hơn hoặc bằng nhiệt độ của môi trường nên \(T - 25 \ge 0\) nên ta có thể phá dấu trị tuyệt đối: \(T - 25 = {e^C}.{E^{kt}}\)
Đặt \(A = {e^C}\) (Với \(A\) là một hằng số dương tùy ý) suy ra \[T\left( t \right) - 25 = A.{e^{kt}} \Leftrightarrow T\left( t \right) = 25 + A.{e^{kt}}\]
Tại \(t = 0\)(10 giờ) thì \(T = 65\) nên \(65 = 25 + A.{e^{k.0}} \Rightarrow 65 = 25 + A \Rightarrow A = 40\)
Tại \(t = 1\)(11 giờ) thì \(T = 45\) nên \(45 = 25 + 40.{e^{k.1}} \Rightarrow 45 = 25 + 40.{e^k} \Leftrightarrow 20 = 40.{e^k} \Rightarrow {e^k} = 0,5\)
Vậy lúc này phương trình \(T\left( t \right) = 25 + 40.{\left( {{e^k}} \right)^t} = 25 + 40.{\left( {0,5} \right)^t}\)
Nhiệt độ lúc pha trà là \(95\)°C nên \(95 = 25 + 40.{\left( {0,5} \right)^t} \Rightarrow {\left( {0,5} \right)^t} = 1,75 \Rightarrow t = {\log _{0,5}}\left( {1,75} \right)\)
Khi \(t = {\log _{0,5}}\left( {1,75} \right) \approx - 0,807535\)(dấu âm thể hiện thời điểm pha trà nằm trước mốc thời gian \(t = 0\), tức là trước \(10\) giờ)
Đổi sang phút ta có \(0,80735.60 \approx 48,44\)(phút) nên cốc trà được pha trước lúc bấm giờ \(48\) phút
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án:
Bán kính đường tròn ngoại tiếp là: \(R = IA = IB = \frac{{12\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} = 4\sqrt 6 \Rightarrow {R^2} = 96\)
Vì trục quạt thẳng đứng, điểm treo \(S\left( {a;\,b;\,340} \right)\) và tâm quay \(I\) sẽ có dùng hoành độ và tung độ nên tâm \(I\left( {a;\,b;\,280} \right)\)
Hệ phương trình khoảng cách \(\left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = 96\\I{B^2} = 96\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 10} \right)^2} + {\left( {b - 20} \right)^2} = 96\\{\left( {a - 22} \right)^2} + {\left( {b - 32} \right)^2} = 96\end{array} \right. \Rightarrow b = 42 - a\)
Thay \(b = 42 - a\) vào 1 trong 2 phương trình, ta được \({a^2} - 32a + 244 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 16 + 2\sqrt 3 \\b = 16 - 2\sqrt 3 \end{array} \right.\)
Do \(a > 16\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}a = 16 + 2\sqrt 3 \\b = 26 - 2\sqrt 3 \end{array} \right.\) nên \(T = a + b + c = 16 + 2\sqrt 3 + 26 - 2\sqrt 3 + 340 = 382\)
Câu 2
Lời giải
Xét mệnh đề a)
Theo đề bài, \(N\left( t \right) = \frac{{at + b}}{{t + d}}\)
Với \(t = 0 \Rightarrow N\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow \frac{b}{d} = 0 \Rightarrow b = 0\)
Với \(t = 1 \Rightarrow N\left( 1 \right) = 50 \Rightarrow \frac{{a + b}}{{1 + d}} = 50 \Leftrightarrow a + b = 50\left( {1 + d} \right) \Leftrightarrow a - 50d = 50\)
Với \(t = 2 \Rightarrow N\left( 2 \right) = 80 \Rightarrow \frac{{2a + b}}{{2 + d}} = 80 \Leftrightarrow 2a + b = 80\left( {2 + d} \right) \Leftrightarrow 2a - 80d = 160\)
Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}a - 50d = 50\\2a - 80d = 160\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 200\\d = 3\end{array} \right.\) suy ra \(a = 60d = 20\) nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Theo câu trên suy ra \(N\left( t \right) = \frac{{200t}}{{t + 3}}\) suy ra \(N\left( 3 \right) = \frac{{200.3}}{{3 + 3}} = 100\) nên mệnh đề b) đúng
Xét mệnh đề c)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } N\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \left( {\frac{{200t}}{{t + 3}}} \right) = 200\) nên mệnh đề c) sai
Xét mệnh đề d)
Ta có hàm tốc độ tăng trưởng: \(N'\left( t \right) = \frac{{600}}{{{{\left( {t + 3} \right)}^2}}}\)
Lợi nhuận thì bằng doanh thu trừ chi phí. Ta nên dừng lại khi lợi nhuận bắt đầu chuyển sang âm
Vậy điểm hòa vốn khi \(N'\left( t \right) = 6 \Leftrightarrow \frac{{600}}{{{{\left( {t + 3} \right)}^2}}} = 6 \Leftrightarrow t = 7\)
Vậy nhà phát hành nên dừng ngay sau khi kết thúc ngày thứ 7 nên mệnh đề d) đúng
Câu 3
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập