Cho hình vuông \(ABCD\) nội tiếp đường tròn tâm \(I\), bán kính \(R = 40\sqrt 2 \)(cm). Gọi \(\left( H \right)\) là miền chứa tất cả các điểm \(M\) nằm bên trong hình vuông sao cho độ dài \(MI \ge d\left( {M,AB} \right)\). Khi đó diện tích hình phẳng \(\left( H \right)\) bằng bao nhiêu centimet vuông? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Gọi số sách trong \(4\) ngăn lần lượt là \({n_1},{n_2},{n_3},{n_4}\). Khi đó, tổng số sách bằng \(7\) và mỗi ngăn nhiều hơn một cuốn sách. Để có duy nhất một ngăn nhiều sách nhất thì ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Ngăn nhiều nhất có 4 cuốn, ba ngăn còn lại mỗi ngăn 1 cuốn và 4 là số lớn nhất duy nhất, chọn 1 ngăn (trong 4 ngăn) để chứa 4 cuốn có \(C_4^1 = 4\) cách.
Xếp 7 cuốn sách vào có 7! cách nên số cách xếp trong trường hợp này là \(n\left( {{A_1}} \right) = 4.7!\) cách.
Trường hợp 2: Ngăn nhiều nhất có 3 cuốn, ngăn nhiều thứ hai có 2 cuốn, hai ngăn còn lại mỗi ngăn 1 cuốn, chọn 1 ngăn (trong 4 ngăn) để chứa 3 cuốn có \(C_4^1 = 4\) cách.
Chọn 1 ngăn (trong 3 ngăn còn lại) để chứa 2 cuốn có \(C_3^1 = 3\) cách. Hai ngăn còn lại mỗi ngăn chứa 1 cuốn.
Xếp 7 cuốn sách vào có 7! cách nên số cách xếp là \(n\left( {{A_2}} \right) = 4.3.7! = 12.7!\) cách
Vậy số cách xếp thỏa mãn là: \[n\left( A \right) = n\left( {{A_1}} \right) + n\left( {{A_2}} \right) = 4.7!\, + 12.7! = 16.7!\]
Biến cố \(B\) yêu cầu sách Toán phải nằm trong ngăn nhiều sách nhất.
Vì vai trò của các cuốn sách là như nhau nên xác suất để cuốn sách Toán rơi vào một nhóm \(k\) vị trí trong tổng số \(7\) vị trí là \(\frac{k}{7}\).
Trong trường hợp 1: Ngăn nhiều nhất có 4 cuốn nên xác suất sách Toán nằm ở ngăn này là: \(\frac{4}{7}\)
Vậy số cách thuận lợi cho trường hợp này là: \(\frac{4}{7}.n\left( {{A_1}} \right) = \frac{4}{7}.4.7! = \frac{{16}}{7}.7!\).
Trong trường hợp 2: Ngăn nhiều nhất có \(3\) cuốn nên xác suất sách Toán nẳm ở ngăn này là: \(\frac{3}{7}\)
Vậy số cách thuận lợi cho trường hợp này là: \(\frac{3}{7}.n\left( {{A_2}} \right) = \frac{3}{7}.12.7! = \frac{{36}}{7}.7!\)
Tổng số cách thuận lợi: \(n\left( {A \cap B} \right) = \left( {\frac{{16}}{7} + \frac{{36}}{7}} \right).7! = \frac{{52}}{7}.7!\)
Vậy xác suất cần tính là: \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{n\left( {A \cap B} \right)}}{{n\left( A \right)}} = \frac{{\frac{{52}}{7}.7!}}{{16.7!}} = \frac{{13}}{{28}} \approx 0,46\)

Trên mô hình, bán kính trái đất \({R_{mo\,\,hinh}} = \sqrt {64}  = 8\) đơn vị và trong thực tế thì \({R_{thuc\,\,te}} = 6400\)km

Suy ra tỷ lệ quy đổi là: \(k = \frac{{{R_{thuc\,\,te}}}}{{{R_{mo\,h\`i nh}}}} = \frac{{6400}}{8} = 800\)(km/đơn vị), nghĩa là 1 đơn vị độ dài trong hệ trục tọa độ tương ứng với \(800\)km ngoài thực tế

Quãng đường vệ tinh bay được là: \(S = v.t = 8.600 = 4800\)(km)

Gọi \(O\) là tâm trái đất và \(A\) là điểm phóng vệ tinh

Do \(A\) nằm trên bề mặt trái đất nên độ dài đoạn \(OA\) chính là bán kính thực tế \(OA = 6400\)km

Gọi \(B\) là vị trí của vệ tinh sau \(10\) phút bay thì đoạn đường \(AB\) chính là quãng đường bay nên suy ra \(AB = S = 4800\)(km)

Theo giả thiết, vệ tinh bay theo phương tiếp tuyến với đường tròn vĩ tuyến tại điểm \(A\) (trong mặt phẳng song song với \(Oxy\)) nên \(AB \bot Oz\)

Mặt khác, vectơ \(\overrightarrow {AB} \) vuông góc với mặt phẳng chứa trục \(Oz\) và điểm \(A\) nên \(AB \bot OA\)

Vậy tam giác \(OAB\) là tam giác vuông tại \(A\)

Khi đó độ cao của vệ tinh chính là hiệu số giữa khoảng cách từ tâm trái đất đến vị tinh

Áp dụng định lý Pytago trong \(\Delta OAB\): \(O{B^2} = O{A^2} + A{B^2} \Rightarrow OB = \sqrt {{{6400}^2} + {{4800}^2}}  = 8000\)(km)

Vậy sau \(10\) phút bay, vệ tinh đạt đến độ cao \(h = 8000 - 6400 = 1600\)(km) so với mặt đất