Một vật bắt đầu chuyển động trên trục \(Ox\) với đồ thị vận tốc theo thời gian \(v\left( t \right)\) được mô tả như hình vẽ dưới đây. Biết rằng từ giây thứ \(11\) đến giây thứ \(14\) thì đồ thị có dạng hình sin và vận tốc của vật được biểu diễn bởi phương trình \[v\left( t \right) = a + b\cos \left[ {\frac{\pi }{3}\left( {t - 8} \right)} \right]\]

Gọi số sách trong \(4\) ngăn lần lượt là \({n_1},{n_2},{n_3},{n_4}\). Khi đó, tổng số sách bằng \(7\) và mỗi ngăn nhiều hơn một cuốn sách. Để có duy nhất một ngăn nhiều sách nhất thì ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Ngăn nhiều nhất có 4 cuốn, ba ngăn còn lại mỗi ngăn 1 cuốn và 4 là số lớn nhất duy nhất, chọn 1 ngăn (trong 4 ngăn) để chứa 4 cuốn có \(C_4^1 = 4\) cách.
Xếp 7 cuốn sách vào có 7! cách nên số cách xếp trong trường hợp này là \(n\left( {{A_1}} \right) = 4.7!\) cách.
Trường hợp 2: Ngăn nhiều nhất có 3 cuốn, ngăn nhiều thứ hai có 2 cuốn, hai ngăn còn lại mỗi ngăn 1 cuốn, chọn 1 ngăn (trong 4 ngăn) để chứa 3 cuốn có \(C_4^1 = 4\) cách.
Chọn 1 ngăn (trong 3 ngăn còn lại) để chứa 2 cuốn có \(C_3^1 = 3\) cách. Hai ngăn còn lại mỗi ngăn chứa 1 cuốn.
Xếp 7 cuốn sách vào có 7! cách nên số cách xếp là \(n\left( {{A_2}} \right) = 4.3.7! = 12.7!\) cách
Vậy số cách xếp thỏa mãn là: \[n\left( A \right) = n\left( {{A_1}} \right) + n\left( {{A_2}} \right) = 4.7!\, + 12.7! = 16.7!\]
Biến cố \(B\) yêu cầu sách Toán phải nằm trong ngăn nhiều sách nhất.
Vì vai trò của các cuốn sách là như nhau nên xác suất để cuốn sách Toán rơi vào một nhóm \(k\) vị trí trong tổng số \(7\) vị trí là \(\frac{k}{7}\).
Trong trường hợp 1: Ngăn nhiều nhất có 4 cuốn nên xác suất sách Toán nằm ở ngăn này là: \(\frac{4}{7}\)
Vậy số cách thuận lợi cho trường hợp này là: \(\frac{4}{7}.n\left( {{A_1}} \right) = \frac{4}{7}.4.7! = \frac{{16}}{7}.7!\).
Trong trường hợp 2: Ngăn nhiều nhất có \(3\) cuốn nên xác suất sách Toán nẳm ở ngăn này là: \(\frac{3}{7}\)
Vậy số cách thuận lợi cho trường hợp này là: \(\frac{3}{7}.n\left( {{A_2}} \right) = \frac{3}{7}.12.7! = \frac{{36}}{7}.7!\)
Tổng số cách thuận lợi: \(n\left( {A \cap B} \right) = \left( {\frac{{16}}{7} + \frac{{36}}{7}} \right).7! = \frac{{52}}{7}.7!\)
Vậy xác suất cần tính là: \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{n\left( {A \cap B} \right)}}{{n\left( A \right)}} = \frac{{\frac{{52}}{7}.7!}}{{16.7!}} = \frac{{13}}{{28}} \approx 0,46\)

Gieo ba con xác xắc nên số phần tử của không gian mẫu là: \(n\left( \Omega  \right) = {6^3} = 216\) cách

Gọi \(D\) là biến cố “Số chấm chia hết cho \(3\)” nên \(P\left( D \right) = \frac{1}{3}\) và có sơ đồ cây như sau:

 

Xét mệnh đề a)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}P\left( {B \cap A} \right) = \frac{1}{3}.0,2 + \frac{2}{3}.0,4.0,02 = 0,012\\P\left( A \right) = \frac{1}{3}.0,02 + \frac{2}{3}\left( {0,6.0,04 + 0,4.0,02} \right) = 0,028\end{array} \right.\) suy ra \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {B \cap A} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{3}{7}\) nên mệnh đề a) sai

Xét mệnh đề b)

Ta có: \(P\left( B \right) = \frac{1}{3}.1 + \frac{2}{3}.0,4 = \frac{3}{5} = 0,6\) nên mệnh đề b) sai

Xét mệnh đề c)

Ta có: \(P\left( A \right) = \frac{1}{3}.0,02 + \frac{2}{3}\left( {0,6.0,04 + 0,4.0,02} \right) = 0,028\) nên mệnh đề c) đúng

Xét mệnh đề d)

Ta có: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,012}}{{0,6}} = 0,02\) nên mệnh đề d) sai