Trong y học hạt nhân, đồng vị phóng xạ I-131 thường được sử dụng để hỗ trợ chẩn đoán và điều trị các bệnh lý về tuyến giáp. Sau khi tiêm vào cơ thể bệnh nhân, số lượng hạt nhân phóng xạ sẽ giảm dần theo thời gian. Giả sử khối lượng \(m\left( t \right)\) (đơn vị: mg) của I-131 còn lại trong cơ thể tại thời điểm \(t\) ngày \(\left( {t \ge 0} \right)\) thỏa mãn \(m\left( t \right) > 0\) và tốc độ phân rã tỉ lệ thuận với khối lượng hiện có theo phương trình \(m'\left( t \right) = k.m\left( t \right)\) với \(k \ne 0\). Kết quả kiểm tra cho thấy khối lượng I-131 còn lại tại thời điểm \(t = 8\) ngày và \(t = 16\) ngày lần lượt là \(4\)mg và \(2\)mg

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ :

Phương trình parabol \(DC\)có dạng \({y_{DC}} = a{x^2} + c\)đi qua điểm\(D\left( {1,5;16} \right)\)và\(C\left( {3;13} \right)\)

Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {1,5} \right)}^2}a + c = 16}\\{{3^2}a + c = 13}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a =  - \frac{4}{9}}\\{c = 17}\end{array}} \right. \Rightarrow {y_{DC}} =  - \frac{4}{9}{x^2} + 17 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{9}{4}.\left( {17 - y} \right)\)

Phương trình đường tròn tâm \(I\left( {3;12,5} \right)\)và bán kính \(R = 0,5\)

\[{\left( {x - 3} \right)^3} + {\left( {y - 12,5} \right)^2} = \frac{1}{4} \Rightarrow x =  - \sqrt {\frac{1}{4} - {{\left( {y - 12,5} \right)}^2}}  + 3\]

Lượng sữa chua còn lại là :

\[V = \pi {.3^2}.12 + \pi \left[ {\int\limits_{12}^{13} {\left( { - \sqrt {\frac{1}{4} - {{\left( {y - 12,5} \right)}^2}}  + 3} \right)} \,dy + \int\limits_{13}^{14} {\left( {\frac{9}{4}.\left( {17 - y} \right)} \right)} \,dy} \right] \approx 385\](ml)

Số phần tử không gian mẫu: Trên 2 đường chéo, mỗi đường chéo có 7 điểm

Số cách chọn 3 điểm thẳng hàng là:\(2.C_7^3 = 70\) cách

Trên 4 cạnh, mỗi cạnh có đúng 3 điểm thẳng hàng nên số cách chọn là: \(4.C_3^3 = 4\)(cách)

Trên các đường trung trực, có 2 đường nối trung điểm các cạnh đối diện đi qua tâm, mỗi đường có 3 điểm nên số cách chọn là: \(2.C_3^3 = 2\)(cách)

Trên các đường thẳng nối từ trung điểm cạnh, đi qua một điểm trên đường chéo tới đỉnh đối diện có \(8\) đường thẳng, mỗi đường chứa đúng \(3\) điểm nên có \(8.C_3^3 = 8\) cách chọn

Vậy số phần tử trong không gian mẫu: \(n\left( \Omega  \right) = 70 + 4 + 2 + 8 = 84\)(cách)

Số cách chọn thuận lợi:

Gọi biến cố \(A\): "Ba bóng đèn đó nằm trên các đường chéo của hình vuông".

Vậy số cách chọn \(A\) thuận lợi: \(n\left( A \right) = 2.C_7^3 = 70\) cách

Xác suất để ba bóng đèn đó nằm trên các đường chéo của hình vuông\(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{70}}{{84}} \approx 0,83\)