Trong y học hạt nhân, đồng vị phóng xạ I-131 thường được sử dụng để hỗ trợ chẩn đoán và điều trị các bệnh lý về tuyến giáp. Sau khi tiêm vào cơ thể bệnh nhân, số lượng hạt nhân phóng xạ sẽ giảm dần theo thời gian. Giả sử khối lượng \(m\left( t \right)\) (đơn vị: mg) của I-131 còn lại trong cơ thể tại thời điểm \(t\) ngày \(\left( {t \ge 0} \right)\) thỏa mãn \(m\left( t \right) > 0\) và tốc độ phân rã tỉ lệ thuận với khối lượng hiện có theo phương trình \(m'\left( t \right) = k.m\left( t \right)\) với \(k \ne 0\). Kết quả kiểm tra cho thấy khối lượng I-131 còn lại tại thời điểm \(t = 8\) ngày và \(t = 16\) ngày lần lượt là \(4\)mg và \(2\)mg

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ :

Phương trình parabol \(DC\)có dạng \({y_{DC}} = a{x^2} + c\)đi qua điểm\(D\left( {1,5;16} \right)\)và\(C\left( {3;13} \right)\)

Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {1,5} \right)}^2}a + c = 16}\\{{3^2}a + c = 13}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a =  - \frac{4}{9}}\\{c = 17}\end{array}} \right. \Rightarrow {y_{DC}} =  - \frac{4}{9}{x^2} + 17 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{9}{4}.\left( {17 - y} \right)\)

Phương trình đường tròn tâm \(I\left( {3;12,5} \right)\)và bán kính \(R = 0,5\)

\[{\left( {x - 3} \right)^3} + {\left( {y - 12,5} \right)^2} = \frac{1}{4} \Rightarrow x =  - \sqrt {\frac{1}{4} - {{\left( {y - 12,5} \right)}^2}}  + 3\]

Lượng sữa chua còn lại là :

\[V = \pi {.3^2}.12 + \pi \left[ {\int\limits_{12}^{13} {\left( { - \sqrt {\frac{1}{4} - {{\left( {y - 12,5} \right)}^2}}  + 3} \right)} \,dy + \int\limits_{13}^{14} {\left( {\frac{9}{4}.\left( {17 - y} \right)} \right)} \,dy} \right] \approx 385\](ml)

Gọi \(T\) là biến cố một sĩ quan được chọn từ mỗi sư đoàn là cấp tá và \(U\) là biến cố một sĩ quan được chọn từ mỗi sư đoàn là cấp úy
Sư đoàn I (chọn 4 người) nên \(P\left( {T|I} \right) = \frac{{10}}{{40}} = 0,25\) và \(\,P\left( {U|I} \right) = \frac{{30}}{{40}} = 0,75\)
Sư đoàn II (chọn 3 người) nên \(P\left( {T|II} \right) = \frac{{20}}{{40}} = 0,5\) và \(P\left( {U|I} \right) = \frac{{20}}{{40}} = 0,5\)
Sư đoàn III (chọn 3 người) nên \(P\left( {T|III} \right) = \frac{{10}}{{50}} = 0,2\) và \(P\left( {U|III} \right) = \frac{{40}}{{40}} = 0,8\)
Trong khối 10 người được chọn, ta tính trọng số xuất hiện của cấp tá và cấp úy:
Tổng xác suất chọn 1 cấp tá (Khối trưởng): \(P\left( T \right) = 4.0,25 + 3.0,5 + 3.0,2 = 3,1\)
Tổng xác suất chọn 1 cấp uý (Cầm cờ): \(P\left( U \right) = 4.0,75 + 3.0,5 + 3.0,8 = 6,9\)
Gọi các biến cố liên quan đến việc chọn 2 vị trí (khối trưởng và cầm cờ) như sau:
Nhóm biến cố về khối trưởng (Sĩ quan cấp tá)
Biến cố \({A_1}\) là biến cố khối trưởng thuộc sư đoàn I nên \(P\left( {{A_1}} \right) = \frac{{4.0,25}}{{3,1}} = \frac{{10}}{{31}}\)
Biến cố \({A_2}\) là biến cố khối trưởng thuộc sư đoàn II nên \(P\left( {{A_2}} \right) = \frac{{3.0,5}}{{3,1}} = \frac{{15}}{{31}}\)
Biến cố \({A_3}\)là biến cô khối trưởng thuộc sư đoàn III nên \(P\left( {{A_3}} \right) = \frac{{3.0,2}}{{3,1}} = \frac{6}{{31}}\)
Nhóm biến cố về sĩ quan cầm cờ (Sĩ quan cấp úy)
Biến cố \({B_1}\) là biến cố sĩ quan cầm cờ thuộc sư đoàn I nên \(P\left( {{B_1}} \right) = \frac{{4.0,75}}{{6,9}} = \frac{{10}}{{23}}\)
Biến cố \({B_2}\) là biến cố sĩ quan cầm cờ thuộc sư đoàn II nên \(P\left( {{B_2}} \right) = \frac{{3.0,5}}{{6,9}} = \frac{5}{{23}}\)
Biến cố \({B_3}\) là biến cố sĩ quan cầm cờ thuộc sư đoàn III nên \(P\left( {{B_3}} \right) = \frac{{3.0,8}}{{6,9}} = \frac{8}{{23}}\)
Biến cố điều kiện bổ trợ là biến cố \(C\) “Hai sĩ quan được chọn thuộc hai đơn vị khác nhau”
Tính xác suất biến cố \(C\). Trước hết ta tính \(P\left( {\overline C } \right)\)(hai sĩ quan cùng đơn vị)
\(P\left( {\overline C } \right) = P\left( {{A_1} \cap {B_1}} \right) + P\left( {{A_2} \cap {B_2}} \right) + P\left( {{A_3} \cap {B_3}} \right) = \frac{{10}}{{31}}.\frac{{10}}{{23}} + \frac{{15}}{{31}}.\frac{5}{{23}} + \frac{6}{{31}}.\frac{8}{{23}} = \frac{{223}}{{713}}\)
\( \Rightarrow P\left( C \right) = 1 - P\left( {\overline C } \right) = \frac{{490}}{{713}}\)
Xét mệnh đề a)
Xác suất để chọn một sĩ quan bất kỳ từ sư đoàn III là sỹ quan cấp tá: \(P\left( {T|III} \right) = \frac{{10}}{{50}} = 0,2\)nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Xác suất khối trưởng sư đoàn II \(\left( {{A_2}} \right)\) và cầm cờ Sư đoàn I \(\left( {{B_1}} \right)\) với điều kiện \(C\)là:
\(P\left( {{A_2} \cap {B_1}|C} \right) = \frac{{P\left( {{A_2}} \right).P\left( {{B_1}} \right)}}{{P\left( C \right)}} = \frac{{\frac{{15}}{{31}}.\frac{{10}}{{23}}}}{{\frac{{490}}{{713}}}} = \frac{{150}}{{490}} \approx 0,3\) nên mệnh đề b) đúng
Xét mệnh đề c)
Xác suất để sĩ quan cầm cờ thuộc sư đoàn III là:
\(P\left( {{B_3}|C} \right) = \frac{{P\left( {{B_3} \cap {A_1}} \right) + P\left( {{B_3} \cap {A_2}} \right)}}{{P\left( C \right)}} = \frac{{\frac{8}{{23}}.\left( {\frac{{10}}{{31}} + \frac{{15}}{{31}}} \right)}}{{\frac{{490}}{{713}}}} = \frac{{200}}{{490}} \approx 0,4\) nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Xác suất để khối trưởng là sĩ quan của sư đoàn I là:
\(P\left( {{A_1}|C} \right) = \frac{{P\left( {{A_1} \cap {B_2}} \right) + P\left( {{A_1} \cap {B_3}} \right)}}{{P\left( C \right)}} = \frac{{\frac{{10}}{{31}}.\left( {\frac{5}{{23}} + \frac{8}{{23}}} \right)}}{{\frac{{490}}{{713}}}} = \frac{{130}}{{490}} \approx 0,3\) nên mệnh đề d) đúng