Một dây curoa mỏng dài \(L\) bao quanh hai ròng rọc có bán kính lần lượt là ròng rọc lớn \(R\) và ròng rọc nhỏ \(r\), vắt chéo nhau tạo thành hình số \(8\). Giả sử bán kính \(R = 30\)cm, bán kính \(r = 15\)cm. Biết khoảng cách giữa tâm của hai ròng rọc là \(90\)cm. Tính tổng chiều dài \(L\) của dây curoa (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của cm)

Lời giải
Từ tâm \({O_2}\), kẻ đường thẳng song song với đoạn \(AB\). Kéo dài bán kính \({O_1}A\) cắt đường thẳng vừa kẻ tại \(H\)

Xét tứ giác \(AB{O_2}H\) có ba góc vuông nên \(AB{O_2}H\) là hình chữ nhật
Khi đó: \(AH = {O_2}B = r = 15\)cm và \({O_2}H = AB\)
Xét \(\Delta {O_1}H{O_2}\) vuông tại \(H\) có \({O_1}H = {O_1}A + AH = R + r = 30 + 15 = 45\)cm và \({O_1}{O_2} = d = 90\)cm
Áp dụng định lý Pytago trong \(\Delta {O_1}H{O_2}:\)\({O_2}H = \sqrt {{O_1}O_2^2 - {O_1}{H^2}} = \sqrt {{{90}^2} - {{45}^2}} = 45\sqrt 3 \)cm
Vì \(AB = {O_2}H\) nên chiều dài một đoạn dây thẳng là \(45\sqrt 3 \)cm
Do có 2 đoạn chéo nhau, tổng chiều dài phần dây thẳng là \(90\sqrt 3 \)cm và đặt \(\alpha = \widehat {H{O_1}{O_2}}\)
Xét tam giác vuông \({O_1}H{O_2}\), ta có: \(\cos \left( \alpha \right) = \frac{{{O_1}H}}{{{O_1}{O_2}}} = \frac{{45}}{{90}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 60^\circ = \frac{\pi }{3}\)rad (góc này là cung nhỏ) nên góc ở tâm \(\widehat {A{O_1}A'} = 2\alpha = 120^\circ = \frac{{2\pi }}{3}\)rad
Vậy góc của phần cung mà dây ôm vào ròng rọc lớn là: \({\varphi _1} = 2\pi - \frac{{2\pi }}{3} = \frac{{4\pi }}{3}\)rad
Mặt khác \({O_1}A \bot AB\)và \({O_2}B \bot AB\)nên \({O_1}A//{O_2}B\)
Đường thẳng \({O_1}{O_2}\)cắt hai đường thẳng song song này tạo ra các góc so le trong bằng nhau
Do đó góc hợp bởi bán kính ròng rọc nhỏ và đường nối tâm cũng bằng \(\alpha = 60^\circ \)
Tương tự suy ra góc ôm dây trên ròng rọc nhỏ cũng là: \({\varphi _2} = 2\pi - \frac{{2\pi }}{3} = \frac{{4\pi }}{3}\)rad
Chiều dài cung trên ròng rọc lớn: \({L_R} = R.{\varphi _1} = 30.\frac{{4\pi }}{3} = 40\pi \)cm
Chiều dài cung trên ròng rọc nhỏ: \({L_r} = r.{\varphi _2} = 15.\frac{{4\pi }}{3} = 20\pi \)cm
Tổng chiều dài dây curoa \(L\)là: cm