Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), đơn vị trên mỗi trục tính bằng kilomet. Một máy bay \(A\) xuất phát từ gốc tọa độ \(O\left( {0;\,0;\,0} \right)\) lúc 6 giờ với tốc độ không đổi là \(800\)(km/h), bay theo tia \(OM\) hợp với các trục tọa độ các góc bằng nhau. Máy bay \(B\) xuất phát tại \(P\left( {80\sqrt 6 ;\,0;\,0} \right)\) lúc 6 giờ 15 phút, bay theo tia \(PN\)cũng hợp với các trục tọa độ các góc bằng nhau. Hãy xác định tốc độ của máy bay \(B\) để đúng 8 giờ 15 phút thì khoảng cách giữa hai máy bay bằng \(160\)km (Kết quả làm tròn đến hang đơn vị)

Thời gian bay của máy bay \(A\) là \({t_A} = 2,25\)(giờ)
Quãng đường máy bay \(A\) đã bay: \({d_A} = 800.2,25 = 1800\)km
Gọi \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) là một vectơ chỉ phương
Mặt khác ta có \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) hợp với các trục tọa độ các góc bằng nhau
Đặt \(a = \cos \alpha ,\,\,b = \cos \beta ,\,\,c = \cos \gamma \).
Và một tính chất bất biến trong không gian là:\({\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta + {\cos ^2}\gamma = 1\left( * \right)\)
Đề bài cho biết máy bay bay theo tia hợp với các trục tọa độ các góc bằng nhau.
Nghĩa là \(\alpha = \beta = \gamma \Rightarrow \cos \alpha = \cos \beta = \cos \gamma \)thay vào \(\left( * \right) \Rightarrow \cos \alpha = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)\( \Rightarrow \overrightarrow u = \left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }};\frac{1}{{\sqrt 3 }};\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)\)
Vậy tọa độ điểm \(A\) là: \(OA = 1800.\overrightarrow u = \left( {600\sqrt 3 ;600\sqrt 3 ;600\sqrt 3 } \right)\)
Thời gian bay của máy bay \(B\) là \({t_B} = 2\)(giờ) và quãng đường máy bay \(B\) đã bay: \({d_B} = 2 \cdot {v_B}\)
Xuất phát từ \(P\left( {80\sqrt 6 ;0;0} \right)\) và bay theo hướng tương tự máy bay \(A\):
\(\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OP} + {d_B}.\overrightarrow u = \left( {80\sqrt 6 + \frac{{2{v_B}}}{{\sqrt 3 }};\frac{{2{v_B}}}{{\sqrt 3 }};\frac{{2{v_B}}}{{\sqrt 3 }}} \right)\)
Vậy \(AB = \sqrt {{{\left( {80\sqrt 6 + \frac{{2{v_B}}}{{\sqrt 3 }} - 600\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {\frac{{2{v_B}}}{{\sqrt 3 }} - 600\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {\frac{{2{v_B}}}{{\sqrt 3 }} - 600\sqrt 3 } \right)}^2}} = 160 \Leftrightarrow {v_B} \approx 843\)km