Từ một khúc gỗ hình trụ tròn xoay có bán kính đáy bằng \(8\)cm, một người thợ mộc cần cắt dọc theo thân trụ để lấy ra 3 khối gỗ hình hộp chữ nhật bằng nhau. Xét trên mặt cắt ngang (hình tròn đáy), ba khối hộp chữ nhật này tương ứng với ba hình chữ nhật. Mỗi hình chữ nhật có một cạnh nằm trên một cạnh của tam giác đều \(ABC\) nội tiếp đường tròn đáy, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn (tham khảo hình vẽ). Hỏi diện tích mặt cắt ngang lớn nhất có thể của mỗi khối gỗ hình hộp chữ nhật bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến chữ số hàng phần mười)

Quả cầu tiếp xúc với bức tường lần lượt là mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) và \(\left( {Oxy} \right)\) nên:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{d\left( {I,\left( {Oyz} \right)} \right) = r = {x_I}}\\{d\left( {I,\left( {Oxz} \right)} \right) = r = {y_I}}\end{array}} \right.\)

Mặt khác cao độ điểm \(I = 20 + r \Rightarrow I\left( {r;r;r + 20} \right)\)
Hỡn nữa, \(IB = IA + AB = r + AB \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {0 - r} \right)}^2} + {{\left( {0 - r} \right)}^2} + {{\left( {80 - \left( {r + 20} \right)} \right)}^2}} = r + 30\)
\( \Rightarrow r = A\) cm (lưu vào biến A)
Gọi 2 điểm tiếp xúc của quả bóng với mặt tường \(\left( {Oyz} \right),\left( {Oxy} \right)\) lần lượt là
\(M\left( {0;r;{z_I}} \right),N\left( {r;0;{z_I}} \right) \Rightarrow MN = \sqrt {{{\left( {r - 0} \right)}^2} + {{\left( {0 - r} \right)}^2} + {{\left( {{z_I} - {z_I}} \right)}^2}} = \sqrt {2{r^2}} = r\sqrt 2 \)
Với bán kính \(r = A \Rightarrow MN = A.\sqrt 2 \approx 26,9\)(cm)

Gọi \(A\) là biến cố “Thí sinh đó đạt yêu cầu phong cách Dân gian” nên \(P\left( A \right) = \frac{{28}}{{40}} = \frac{7}{{10}}\)
Gọi \(B\) là biến cố “Thí sinh đó đạt yêu cầu phong cách Nhạc nhẹ” nên \(P\left( B \right) = \frac{{25}}{{40}} = \frac{5}{8}\)
Gọi \(C\) là biến cố “Thí sinh đó không đạt yêu cầu ở cả hai phong cách” nên \(P\left( C \right) = \frac{5}{{40}} = \frac{1}{8}\)
Gọi \(A \cup B\) là biến cố: “thí sinh đó đạt yêu cầu ít nhất một trong hai phong cách”.
Khi đó: \(P\left( {A \cup B} \right) = 1 - P\left( C \right) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}\). Theo công thức cộng xác suất thì:
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) \Rightarrow P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cup B} \right) = \frac{7}{{10}} + \frac{5}{8} - \frac{7}{8} = \frac{9}{{20}}\)
Hơn nữa, trong 40 thí sinh thì có \(40.\frac{9}{{20}} = 18\) người đạt cả hai phong cách và có \(\left( {28 - 18} \right) = 10\) người chỉ đạt phong cách Dân gian.
Vậy xác suất chọn được hai người đạt thêm yêu cầu phong cách Nhạc nhẹ và một người không đạt yêu cầu là: \(P\left( N \right) = \frac{{C_{18}^2.C_{10}^1}}{{C_{28}^3}} \approx 0,47\)