Vệ tinh hoạt động dựa trên nguyên lý của vật lý Newton. Một vật thể bị kéo bởi một lực hấp dẫn từ một vật thể khác sẽ chuyển động theo một quỹ đạo elip xung quanh vật thể đó. Để đưa vệ tinh lên quỹ đạo, người ta sử dụng các loại tên lửa đẩy khác nhau để cung cấp cho vệ tinh động lượng cần thiết để thoát khỏi trọng lực của Trái Đất và duy trì quỹ đạo ổn định. Để thuận tiện ta quy ước một quỹ đạo gần tròn thành một đường tròn. Trong hệ tọa độ \(Oxyz\), gốc tọa độ là tâm trái đất, một vệ tinh nhân tạo có quỹ đạo được coi như một đường tròn có bán kính \[13440\]km có điểm xuất phát là điềm \(B\left( {4032;0; - 5376} \right)\) và đây cũng là điểm gần Trái Đất nhất của vệ tinh. Quỹ đạo của vệ tinh này nằm trên mặt phẳng vuông góc với trục tung và có tâm nằm trên đường thẳng \(OB\). Coi trái đất là hình cầu hoàn hảo có bán kính bằng \[6400\]km

Gọi bảng \(3 \times 3\)có cấu trúc như hình vẽ bên dưới:

Để các hàng và cột là cấp số cộng, ta có các hệ thức thỏa điều kiện:
Hàng \(a + b = 2m\) \(q + n = 2o\) \(d + c = 2p\)
Cột \(a + d = 2q\) \(m + p = 2o\) \(b + c = 2n\)
Đường chéo \(a + c = 2o\) \(b + d = 2o\)
Từ các hệ thức trên, ta suy ra \(a + c = b + d = 2o\)
Điều này có nghĩa là tổng các cặp số ở góc đối diện phải bằng nhau và bằng 2 lần số ở tâm bảng
Để \(m,n,p,q,o\)là các số nguyên, thì \(a,b,c,d\)phải cùng tính chẵn lẽ
Ta cần tìm các bộ bốn số \(\left\{ {a;b;c;d} \right\}\) phân biệt từ tập \(S\)thỏa mãn điều kiện \(a + c = b + d = 2o\) sao cho các số trung điểm sinh ra cũng thuộc \(S\) và phân biệt
Trường hợp 1: Các số ở góc\(a,b,c,d\)là số chẵn. Tập các số chẵn là:\({S_C} = \left\{ {2;4;6;8;10;12} \right\}\)
Các bộ từ tập chẵn sao cho \(\left( {a + c = b + d} \right)\):
\(\left\{ {2;4;8;10} \right\}\) với \(2 + 10 = 4 + 8 = 12 \Leftrightarrow o = 6\) (thỏa mãn)
\(\left\{ {2;4;10;12} \right\}\)với \(2 + 12 = 4 + 10 = 14 \Leftrightarrow o = 7\)(thỏa mãn)
\(\left\{ {2;6;8;12} \right\}\)với \(2 + 12 = 6 + 8 = 14 \Leftrightarrow o = 7\)(thỏa mãn)
\(\left\{ {4;6;10;12} \right\}\)với \(4 + 12 = 6 + 10 = 16 \Leftrightarrow o = 8\)(thỏa mãn)
Trường hợp 2: Các số ở góc\(a,b,c,d\) là số lẻ. Tập các số lẽ là:\({S_L} = \left\{ {1;3;5;7;9;11} \right\}\)
Các bộ từ tập lẽ sao cho \(\left( {a + c = b + d} \right)\):
\(\left\{ {1;3;7;9} \right\}\) với \(1 + 9 = 3 + 7 = 10 \Leftrightarrow o = 5\) (thỏa mãn)
\(\left\{ {1;3;9;11} \right\}\)với \(1 + 11 = 3 + 9 = 12 \Leftrightarrow o = 6\)(thỏa mãn)
\(\left\{ {1;5;7;11} \right\}\)với \(1 + 11 = 5 + 7 = 12 \Leftrightarrow o = 6\)(thỏa mãn)
\(\left\{ {3;5;9;11} \right\}\)với \(3 + 11 = 5 + 9 = 14 \Leftrightarrow o = 7\)(thỏa mãn)
Tổng cộng có \(8\)bộ số ở góc thỏa mãn
Với mỗi bộ 4 số góc, ta có các cách xếp vào bảng như sau:
Chọn một trong bốn góc để đặt số nhỏ nhất: Có \(C_4^1 = 4\)(cách)
Chọn vị trí cho số nhỏ thứ hai trong bộ bốn góc (phải kề với số nhỏ nhất để đảm bảo tính CSC): Có \(C_2^1 = 2\)(cách)
Khi 2 góc kề nhau đã định, các vị trí còn lại (bao gồm cả tâm \(o\) và các số trung điểm) là duy nhất để thỏa mãn quy tắc cấp số cộng
Vậy mỗi bộ số có: \(4.2 = 8\)(cách xếp)
Số cách xếp thỏa mãn yêu cầu là: \(T = 8.8 = 64\). Suy ra $100T=100.64=\boxed{6400}$

Gọi \(E\) là trung điểm của cạnh \[CC'\]\( \Rightarrow AE\parallel MC',\,\left( {E \in CC'} \right)\).
Khi đó: \(d\left( {AB,MC'} \right) = d\left( {MC',\left( {EAB} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {EAB} \right)} \right) = d\left( {C',\left( {EAB} \right)} \right)\).
Gọi \(K\) là trung điểm của cạnh \[AB\] \[ \Rightarrow AB \bot \left( {EKC} \right)\],
Dựng \(CH \bot EK,\,\left( {H \in EK} \right)\)\[ \Rightarrow CH \bot \left( {EAB} \right)\] nên \[d\left( {C,\left( {ABE} \right)} \right) = CH\].
Xét tam giác \(ECK\) vuông tại \(C\)có: \(CK = \frac{{AB}}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2};\,CE = \frac{{CC'}}{2} = 1\).
Do đó: \(CH = \frac{{CK.CE}}{{\sqrt {C{K^2} + C{E^2}} }} = \frac{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}.1}}{{\sqrt {\frac{{{1^2}}}{2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(MC'\) là $\frac{\sqrt{3}}{3}\approx \boxed{\mathrm{0,58}}$.