Một nhà đầu tư mua hai mã cổ phiếu A và B. Thống kê cho thấy trong một phiên giao dịch, xác suất cổ phiếu A và B giảm giá lần lượt là \(0,3\) và \(0,5\) còn xác suất cả hai cổ phiếu cùng giảm giá là \(0,1\). Khi danh mục bị thua lỗ, xác suất nhà đầu tư bị công ty chứng khoán gọi ký quỹ (Call Margin) được quy định như sau:

Tình trạng	A và B cùng giảm	Chỉ A giảm	Chỉ B giảm	A và B không giảm
Xác suất	\(100\% \)	\(60\% \)	\(45\% \)	\(0\% \)

Biết rằng kết thúc phiên giao dịch, nhà đầu tư đã bị gọi ký quỹ. Tính xác suất để cả hai cổ phiếu A và B đều đã giảm giá trong phiên đó

Gọi bảng \(3 \times 3\)có cấu trúc như hình vẽ bên dưới:

Để các hàng và cột là cấp số cộng, ta có các hệ thức thỏa điều kiện:
Hàng \(a + b = 2m\) \(q + n = 2o\) \(d + c = 2p\)
Cột \(a + d = 2q\) \(m + p = 2o\) \(b + c = 2n\)
Đường chéo \(a + c = 2o\) \(b + d = 2o\)
Từ các hệ thức trên, ta suy ra \(a + c = b + d = 2o\)
Điều này có nghĩa là tổng các cặp số ở góc đối diện phải bằng nhau và bằng 2 lần số ở tâm bảng
Để \(m,n,p,q,o\)là các số nguyên, thì \(a,b,c,d\)phải cùng tính chẵn lẽ
Ta cần tìm các bộ bốn số \(\left\{ {a;b;c;d} \right\}\) phân biệt từ tập \(S\)thỏa mãn điều kiện \(a + c = b + d = 2o\) sao cho các số trung điểm sinh ra cũng thuộc \(S\) và phân biệt
Trường hợp 1: Các số ở góc\(a,b,c,d\)là số chẵn. Tập các số chẵn là:\({S_C} = \left\{ {2;4;6;8;10;12} \right\}\)
Các bộ từ tập chẵn sao cho \(\left( {a + c = b + d} \right)\):
\(\left\{ {2;4;8;10} \right\}\) với \(2 + 10 = 4 + 8 = 12 \Leftrightarrow o = 6\) (thỏa mãn)
\(\left\{ {2;4;10;12} \right\}\)với \(2 + 12 = 4 + 10 = 14 \Leftrightarrow o = 7\)(thỏa mãn)
\(\left\{ {2;6;8;12} \right\}\)với \(2 + 12 = 6 + 8 = 14 \Leftrightarrow o = 7\)(thỏa mãn)
\(\left\{ {4;6;10;12} \right\}\)với \(4 + 12 = 6 + 10 = 16 \Leftrightarrow o = 8\)(thỏa mãn)
Trường hợp 2: Các số ở góc\(a,b,c,d\) là số lẻ. Tập các số lẽ là:\({S_L} = \left\{ {1;3;5;7;9;11} \right\}\)
Các bộ từ tập lẽ sao cho \(\left( {a + c = b + d} \right)\):
\(\left\{ {1;3;7;9} \right\}\) với \(1 + 9 = 3 + 7 = 10 \Leftrightarrow o = 5\) (thỏa mãn)
\(\left\{ {1;3;9;11} \right\}\)với \(1 + 11 = 3 + 9 = 12 \Leftrightarrow o = 6\)(thỏa mãn)
\(\left\{ {1;5;7;11} \right\}\)với \(1 + 11 = 5 + 7 = 12 \Leftrightarrow o = 6\)(thỏa mãn)
\(\left\{ {3;5;9;11} \right\}\)với \(3 + 11 = 5 + 9 = 14 \Leftrightarrow o = 7\)(thỏa mãn)
Tổng cộng có \(8\)bộ số ở góc thỏa mãn
Với mỗi bộ 4 số góc, ta có các cách xếp vào bảng như sau:
Chọn một trong bốn góc để đặt số nhỏ nhất: Có \(C_4^1 = 4\)(cách)
Chọn vị trí cho số nhỏ thứ hai trong bộ bốn góc (phải kề với số nhỏ nhất để đảm bảo tính CSC): Có \(C_2^1 = 2\)(cách)
Khi 2 góc kề nhau đã định, các vị trí còn lại (bao gồm cả tâm \(o\) và các số trung điểm) là duy nhất để thỏa mãn quy tắc cấp số cộng
Vậy mỗi bộ số có: \(4.2 = 8\)(cách xếp)
Số cách xếp thỏa mãn yêu cầu là: \(T = 8.8 = 64\). Suy ra $100T=100.64=\boxed{6400}$

Viên bi đỏ dạng mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) có tâm \({I_1}\left( {10;\,0;\,3} \right)\) và bán kính \({R_1} = 3\)

Viên bi xanh dạng mặt cầu \(\left( {{S_2}} \right)\) có tâm \({I_2}\left( { - 12;\,0;\,4} \right)\) và có bán kính \({R_2} = 4\)

Do hai mặt cầu chỉ lăn thẳng tịnh tiến dọc theo trục \(Ox\), tung độ và cao độ của hai tâm mặt cầu sẽ hoàn toàn không thay đổi trong suốt quá trình chuyển động

Tại thời điểm va chạm, hai mặt cầu tiếp xúc ngoài với nhau nên tiếp điểm \(M\left( {{x_0};\,{y_0};\,{z_0}} \right)\) chắc chắn phải nằm trên đoạn thẳng nối tâm là \({I_1}{I_2}\)

Khoảng cách từ tiếp điểm \(M\) đến tâm mỗi mặt cầu chính bằng bán kính của nó nên ta có:

\(\frac{{{I_1}M}}{{M{I_2}}} = \frac{{{R_1}}}{{{R_2}}} = \frac{3}{4}\)\( \Rightarrow 4.\overrightarrow {{I_1}M}  = 3.\overrightarrow {M{I_2}} \)

Suy ra: \(4\left( {{y_0} - {y_1}} \right) = 3\left( {{y_2} - {y_0}} \right) \Leftrightarrow 4\left( {{y_0} - 0} \right) = 3\left( {0 - {y_0}} \right) \Rightarrow 7{y_0} = 0 \Rightarrow {y_0} = 0\)

Tương tự: \(4\left( {{z_0} - {z_1}} \right) = 3\left( {{z_2} - {z_0}} \right) \Leftrightarrow 4\left( {{z_0} - 3} \right) = 3\left( {4 - {z_0}} \right) \Leftrightarrow 7{z_0} = 24 \Rightarrow {z_0} = \frac{{24}}{7}\)

Vậy giá trị của biểu thức \(T = {y_0} + 7{z_0} = 0 + 7.\frac{{24}}{7} = 24\)