Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hai viên bi đỏ và xanh ban đầu có dạng hai mặt cầu lần lượt là \(\left( {{S_1}} \right):{\left( {x - 10} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\) và \(\left( {{S_2}} \right):{\left( {x + 12} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 16\). Biết mặt đất trùng với mặt phẳng \(Oxy\) và hai viên bi này tiếp xúc với mặt phẳng \(Oxy\) tại các điểm nằm trên trục \(Ox\). Truyền cho hai viên bi đỏ và xanh lần lượt các tốc độ không đổi \({v_{{\rm{1\;}}}} = 5\)(m/s) và \({v_2} = 3\)(m/s) thì hai viên bi lăn thẳng về phía nhau dọc theo trục \(Ox\). Gọi \(M\left( {{x_0};\,{y_0};\,{z_0}} \right)\) là tọa độ điểm tiếp xúc của hai viên bi tại thời điểm va chạm với nhau lần đầu tiên. Hãy tính giá trị biểu thức \(T = {y_0} + 7{z_0}\)

Gọi bảng \(3 \times 3\)có cấu trúc như hình vẽ bên dưới:

Để các hàng và cột là cấp số cộng, ta có các hệ thức thỏa điều kiện:
Hàng \(a + b = 2m\) \(q + n = 2o\) \(d + c = 2p\)
Cột \(a + d = 2q\) \(m + p = 2o\) \(b + c = 2n\)
Đường chéo \(a + c = 2o\) \(b + d = 2o\)
Từ các hệ thức trên, ta suy ra \(a + c = b + d = 2o\)
Điều này có nghĩa là tổng các cặp số ở góc đối diện phải bằng nhau và bằng 2 lần số ở tâm bảng
Để \(m,n,p,q,o\)là các số nguyên, thì \(a,b,c,d\)phải cùng tính chẵn lẽ
Ta cần tìm các bộ bốn số \(\left\{ {a;b;c;d} \right\}\) phân biệt từ tập \(S\)thỏa mãn điều kiện \(a + c = b + d = 2o\) sao cho các số trung điểm sinh ra cũng thuộc \(S\) và phân biệt
Trường hợp 1: Các số ở góc\(a,b,c,d\)là số chẵn. Tập các số chẵn là:\({S_C} = \left\{ {2;4;6;8;10;12} \right\}\)
Các bộ từ tập chẵn sao cho \(\left( {a + c = b + d} \right)\):
\(\left\{ {2;4;8;10} \right\}\) với \(2 + 10 = 4 + 8 = 12 \Leftrightarrow o = 6\) (thỏa mãn)
\(\left\{ {2;4;10;12} \right\}\)với \(2 + 12 = 4 + 10 = 14 \Leftrightarrow o = 7\)(thỏa mãn)
\(\left\{ {2;6;8;12} \right\}\)với \(2 + 12 = 6 + 8 = 14 \Leftrightarrow o = 7\)(thỏa mãn)
\(\left\{ {4;6;10;12} \right\}\)với \(4 + 12 = 6 + 10 = 16 \Leftrightarrow o = 8\)(thỏa mãn)
Trường hợp 2: Các số ở góc\(a,b,c,d\) là số lẻ. Tập các số lẽ là:\({S_L} = \left\{ {1;3;5;7;9;11} \right\}\)
Các bộ từ tập lẽ sao cho \(\left( {a + c = b + d} \right)\):
\(\left\{ {1;3;7;9} \right\}\) với \(1 + 9 = 3 + 7 = 10 \Leftrightarrow o = 5\) (thỏa mãn)
\(\left\{ {1;3;9;11} \right\}\)với \(1 + 11 = 3 + 9 = 12 \Leftrightarrow o = 6\)(thỏa mãn)
\(\left\{ {1;5;7;11} \right\}\)với \(1 + 11 = 5 + 7 = 12 \Leftrightarrow o = 6\)(thỏa mãn)
\(\left\{ {3;5;9;11} \right\}\)với \(3 + 11 = 5 + 9 = 14 \Leftrightarrow o = 7\)(thỏa mãn)
Tổng cộng có \(8\)bộ số ở góc thỏa mãn
Với mỗi bộ 4 số góc, ta có các cách xếp vào bảng như sau:
Chọn một trong bốn góc để đặt số nhỏ nhất: Có \(C_4^1 = 4\)(cách)
Chọn vị trí cho số nhỏ thứ hai trong bộ bốn góc (phải kề với số nhỏ nhất để đảm bảo tính CSC): Có \(C_2^1 = 2\)(cách)
Khi 2 góc kề nhau đã định, các vị trí còn lại (bao gồm cả tâm \(o\) và các số trung điểm) là duy nhất để thỏa mãn quy tắc cấp số cộng
Vậy mỗi bộ số có: \(4.2 = 8\)(cách xếp)
Số cách xếp thỏa mãn yêu cầu là: \(T = 8.8 = 64\). Suy ra $100T=100.64=\boxed{6400}$

Gọi \(E\) là trung điểm của cạnh \[CC'\]\( \Rightarrow AE\parallel MC',\,\left( {E \in CC'} \right)\).
Khi đó: \(d\left( {AB,MC'} \right) = d\left( {MC',\left( {EAB} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {EAB} \right)} \right) = d\left( {C',\left( {EAB} \right)} \right)\).
Gọi \(K\) là trung điểm của cạnh \[AB\] \[ \Rightarrow AB \bot \left( {EKC} \right)\],
Dựng \(CH \bot EK,\,\left( {H \in EK} \right)\)\[ \Rightarrow CH \bot \left( {EAB} \right)\] nên \[d\left( {C,\left( {ABE} \right)} \right) = CH\].
Xét tam giác \(ECK\) vuông tại \(C\)có: \(CK = \frac{{AB}}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2};\,CE = \frac{{CC'}}{2} = 1\).
Do đó: \(CH = \frac{{CK.CE}}{{\sqrt {C{K^2} + C{E^2}} }} = \frac{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}.1}}{{\sqrt {\frac{{{1^2}}}{2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(MC'\) là $\frac{\sqrt{3}}{3}\approx \boxed{\mathrm{0,58}}$.