Cho tập hợp \[S = \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12} \right\}\]. Bạn An chọn 9 số phân biệt từ \(S\)và xếp vào các ô vuông có kích thước \(3 \times 3\) sao cho mỗi số được viết vào đúng một ô. Biết rằng ba số trên mỗi hàng, mỗi cột và hai đường chéo của bảng (theo thứ tự từ trái sang phải, từ trên xuống dưới hoặc theo đường chéo) đều lập thành một cấp số cộng. Gọi \(T\) là số cách xếp thỏa mãn yêu cầu trên. Tính giá trị biểu thức \(100T\)

Gọi \(A\)là biến cố cổ phiếu A giảm giá, \(B\)là biến cố cổ phiếu B giảm giá.

Ta có: \(P\left( A \right) = 0,3\); \(P\left( B \right) = 0,5\); \(P\left( {A \cap B} \right) = 0,1\)

Từ đây, ta chia không gian mẫu thành 4 trạng thái rời nhau:

Trạng thái \({C_1}\)( A và B cùng giảm): \(P\left( {{C_1}} \right) = P\left( {A \cap B} \right) = 0,1\)

Trạng thái \({C_2}\)(Chỉ A giảm): \(P\left( {{C_2}} \right) = P\left( A \right) - P\left( {A \cap B} \right) = 0,2\)

Trạng thái \({C_3}\)(Chỉ B giảm): \(P\left( {{C_3}} \right) = P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right) = 0,4\)

Trạng thái \({C_4}\)(Cae A và B đều không giảm): \(P\left( {{C_4}} \right) = 1 - P\left( {A \cup B} \right) = 1 - \left( {0,3 + 0,5 - 0,1} \right) = 0,3\)

Gọi \(M\) là biến cố nhà đầu tư bị gọi ký quỹ (Call Margin).

Các xác suất có điều kiện tương ứng với từng trạng thái được cho trong bảng:

\[P\left( {M|{C_1}} \right) = 100\%  = 1;\,P\left( {M|{C_2}} \right) = 60\%  = 0,6;\,P\left( {M|{C_3}} \right) = 45\%  = 0,45;\,P\left( {M|{C_4}} \right) = 0\%  = 0\]

\(P\left( M \right) = P\left( {{C_1}} \right).P\left( {M|{C_1}} \right) + P\left( {{C_2}} \right).P\left( {M|{C_2}} \right) + P\left( {{C_3}} \right).P\left( {M|{C_3}} \right) + P\left( {{C_4}} \right).P\left( {M|{C_4}} \right)\)

\[ = \left( {0,1.1} \right) + \left( {0,2.0,6} \right) + \left( {0,4.0,45} \right) + \left( {0,3.0} \right) = 0,4\]

Xác suất để cả hai cổ phiếu cùng giảm khi biết rằng nhà đầu tư đã bị gọi ký quỹ là: $P\left(C_1|M\right)=\frac{P\left(C_1\cap M\right)}{P\left(M\right)}=\frac{P\left(C_1\right).P\left(M|C_1\right)}{P\left(M\right)}=\frac{\mathrm{0,1.1}}{\mathrm{0,4}}=\boxed{\mathrm{0,25}}$

Đặt hệ trục như hình vẽ, ta có \(OM\)là đường cao trong tam giác đều \(OAB \Rightarrow OM = \left( {0;3\sqrt 3 } \right)\)Suy ra, tọa độ điểm\(A\left( {3;3\sqrt 3 } \right)\)và \(B\left( { - 3;3\sqrt 3 } \right)\)

Phương trình parabol đi qua \(A\)và \(B\)có dạng: \(\left( {{C_1}} \right):f\left( x \right) = a{x^2} + c \Rightarrow f'\left( x \right) = 2ax\,\left( {a > 0} \right)\)

Vì \(\left( {{C_1}} \right)\)đi qua \(A\left( {3;3\sqrt 3 } \right) \Rightarrow 9a + c = 3\sqrt 3  \Rightarrow c = 3\sqrt 3  - 9a\left( * \right)\)

Hệ số góc tiếp tuyến tại \(A\)là: \({k_A} = f'\left( 3 \right) = 6a\)

Hệ số góc tiếp tuyến tại \(B\)là: \({k_B} = f'\left( { - 3} \right) =  - 6a\)

Theo đề bài, hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau, nên: \({k_A}.{k_B} = 6a.\left( { - 6a} \right) =  - 1 \Leftrightarrow a = \frac{1}{6}\)

Thay \(a = \frac{1}{6}\)vào \(\left( * \right) \Leftrightarrow c = 3\sqrt 3  - 9.\frac{1}{6} = 3\sqrt 3  - \frac{3}{2}\)

Vậy phương trình parabol \(\left( {{C_1}} \right)\)có dạng:\(f\left( x \right) = \frac{1}{6}{x^2} + 3\sqrt 3  - \frac{3}{2}\)

Diện tích cần tìm là: $S=S_{LGÐ}-6.S_{parabol}=6.S_{\Delta OAB}-6.S_{parabol}=6.\left(S_{\Delta OAB}-S_{parabol}\right)$

Suy ra $S=6.\left[\frac{6^2\sqrt{3}}{4}-\underset{-3}{\overset{3}{\int }}\left|3\sqrt{3}-\left(\frac{1}{6}{x}^2+3\sqrt{3}-\frac{3}{2}\right)\right|dx\right]=54\sqrt{3}-36\approx \boxed{\mathrm{57,5}}$