Hình vẽ bên mô tả hiệu suất làm việc của hai công nhân trong một nhà máy trong thời gian 6 giờ. Công nhân A đang sản xuất với hiệu suất \({Q'_1}\left( t \right) = - 2{t^2} + 4t + 58\) sản phẩm mỗi giờ, trong khi công nhân B đang sản xuất với hiệu suất \({Q'_2}\left( t \right) = 53 + at\) sản phẩm mỗi giờ \(\left( {a \in \mathbb{R}} \right)\). Biết rằng hàm \({Q_1}\left( t \right)\) và \({Q_2}\left( t \right)\) mô phȯng số lượng sản phẩm mới làm được của công nhân A và công nhân B sau \(t\) giờ.

Tấm bìa hình tròn nằm trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\)có phương trình \(z = 0\).

Để tấm bìa che khuất hoàn toàn thanh \[AB\] đối với người quan sát tại \(M\), thì hình chiếu xuyên tâm \(M\) của đoạn thẳng \[AB\] lên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) phải nằm hoàn toàn bên trong tấm bìa hình tròn.

Gọi \(A'\) và \(B'\) lần lượt là giao điểm của các tia\(MA\), \(MB\)với mặt phẳng\(\left( {Oxy} \right)\).

Khi đó đoạn thẳng \(A'B'\) chính là hình chiếu của thanh \[AB\] lên \(\left( {Oxy} \right)\).

Nhận xét quan trọng: Để đoạn thẳng \(A'B'\) nằm trọn trong hình tròn tâm \(O\)bán kính\(R\), khoảng cách từ \(O\) đến mọi điểm trên đoạn \(A'B'\)phải \( \le R\).

Vì hàm khoảng cách từ một điểm đến các điểm trên một đoạn thẳng đạt GTLN tại một trong hai đầu mút, ta chỉ cần điều kiện: \(R \ge \max \left( {OA';OB'} \right) \Leftrightarrow {R^2} \ge \max \left( {O{{A'}^2};O{{B'}^2}} \right)\)

Đường thẳng \(MA\)đi qua \[M\left( {2; - 1;4} \right)\]và có vectơ chỉ phương:\[\overrightarrow {MA{\rm{ }}}  = 6\left( {1;1; - 1} \right)\]

Phương trình tham số của \(MA:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + t}\\{y =  - 1 + t}\\{z = 4 - t}\end{array}} \right.\)

\(MA \cap \left( {Oxy} \right) = A'\) nên \[z = 0 \Rightarrow 4 - t = 0 \Rightarrow t = 4\] thay vào phương trình, ta được \(A'\left( {6;3;0} \right)\)

Đường thẳng \(MB\)đi qua \[M\left( {2; - 1;4} \right)\]và có vectơ chỉ phương:\(\overrightarrow {MB}  = 6\left( { - 1;2; - 1} \right)\)

Phương trình tham số của \(MB:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - k}\\{y =  - 1 + 2k}\\{z = 4 - k}\end{array}} \right.\); \(MB \cap \left( {Oxy} \right) = B'\) nên \[z = 0 \Rightarrow 4 - k = 0 \Rightarrow k = 4\]

Thay \[k = 4\]vào phương trình, ta được \(B'\left( { - 2;7;0} \right)\)

Ta tính bình phương khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\left( {0;0;0} \right)\)đến \(A'\)và\(B'\):

\[O{A'^2} = {6^2} + {3^2} = 45\]; \[O{B'^2} = {\left( { - 2} \right)^2} + {7^2} = 53\]

Vì \(O{B'^2} > O{A'^2}\) nên điểm \(B'\)nằm xa tâm \(O\) hơn.

Để hình tròn chứa được cả đoạn\(A'B'\), ta cần có \({R^2} \ge \max \left( {45;53} \right) = 53\)

Giá trị nhỏ nhất của \({R^2}\)bằng $\boxed{53}$