Hình vẽ bên mô tả hiệu suất làm việc của hai công nhân trong một nhà máy trong thời gian 6 giờ. Công nhân A đang sản xuất với hiệu suất \({Q'_1}\left( t \right) = - 2{t^2} + 4t + 58\) sản phẩm mỗi giờ, trong khi công nhân B đang sản xuất với hiệu suất \({Q'_2}\left( t \right) = 53 + at\) sản phẩm mỗi giờ \(\left( {a \in \mathbb{R}} \right)\). Biết rằng hàm \({Q_1}\left( t \right)\) và \({Q_2}\left( t \right)\) mô phȯng số lượng sản phẩm mới làm được của công nhân A và công nhân B sau \(t\) giờ.

Số lượng xe tải \(f\left( t \right) = \frac{{2000t}}{{2t + 1}}\) (xe) và thời gian dỡ xe là \(3,6\)giây/xe = \(\frac{{3,6}}{{3600}} = 0,001\) (giờ/xe).
Tổng thời gian tại bến (tải + dỡ): \({T_b} = t + f\left( t \right).0,001 = t + \frac{{2000t}}{{2t + 1}}.0,001 = t + \frac{{2t}}{{2t + 1}}\)(giờ)
Tổng chi phí vận hành cho một chuyến\(\left( {{C_t}} \right)\):
Chi phí tại bến: \(4.{T_b} = 4\left( {t + \frac{{2t}}{{2t + 1}}} \right)\)(triệu đồng).
Chi phí trên biển: \(10.2,5 = 25\)(triệu đồng) \( \Rightarrow {C_t} = 4t + \frac{{8t}}{{2t + 1}} + 25\)
Chi phí vận chuyển trung bình cho mỗi chiếc xe \(\left( {{C_{tb}}} \right)\)là:
\({C_{tb}}\left( t \right) = \frac{{{C_t}}}{{f\left( t \right)}} = \frac{{4t + \frac{{8t}}{{2t + 1}} + 25}}{{\frac{{2000t}}{{2t + 1}}}} = \frac{{8{t^2} + 62t + 25}}{{2000t}}\)
Để chi phí trung bình thấp nhất, ta xét \({C_{tb}}^\prime \left( t \right)\):
\({C_{tb}}\left( t \right) = \frac{{8{t^2} + 62t + 25}}{{2000t}} \Rightarrow {C_{tb}}^\prime \left( t \right) = \frac{{8{t^2} - 25}}{{2000{t^2}}} = 0 \Leftrightarrow 8{t^2} - 25 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = \frac{{5\sqrt 2 }}{4}\left( n \right)}\\{t = - \frac{{5\sqrt 2 }}{4}\left( l \right)}\end{array}} \right.\)
Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số chi phí trung bình \({C_{tb}}\left( t \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm cực tiểu có hoành độ là \(t = \frac{{5\sqrt 2 }}{4}\)giờphút.

Gọi \({A_1}\) là biến cố chọn được rương I
Gọi \({A_2}\) là biến cố chọn được rương II
Gọi \({A_3}\) là biến cố chọn được rương III
Gọi \(B\)là biến cố đồng tiền rút ra lần đầu là đồng vàng:
Vì các rương giống hệt nhau nên: \(P\left( {{A_1}} \right) = P\left( {{A_2}} \right) = P\left( {{A_3}} \right)\, = \frac{1}{3}\)
Xét mệnh đề a)
Xác suất rút được đồng vàng khi biết đã chọn từng rương là:
\(P\left( {B|{A_1}} \right) = 1\); \(P\left( {B|{A_2}} \right) = 0\); \(P\left( {B|{A_3}} \right) = \frac{1}{2}\)
Áp dụng công thức xác suất toàn phần:
\(P\left( B \right) = P\left( {{A_1}} \right).P\left( {B|{A_1}} \right) + P\left( {{A_2}} \right).P\left( {B|{A_2}} \right) + P\left( {{A_3}} \right).P\left( {B|{A_3}} \right) = \frac{1}{3}.1 + \frac{1}{3}.0 + \frac{1}{3}.\frac{1}{2} = \frac{1}{2}\) nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Xác suất chọn đúng rương I khi biết đã rút được đồng vàng:
\[P\left( {{A_1}|B} \right) = \frac{{P\left( {{A_1}} \right).P\left( {B|{A_1}} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{1}{3}.1}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{2}{3} \approx 66,67\% \] nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Biết lần đầu rút được vàng, ta xét hai khả năng còn lại của rương đó:
Xác suất đồng còn lại là vàng chính là xác suất chúng ta đang ở rương I: \(P\left( {{A_1}|B} \right) = \frac{2}{3}\)
Xác suất đồng còn lại là bạc chính là xác suất chúng ta đang ở rương III: \(P\left( {{A_3}|B} \right) = \frac{1}{3}\)
Vì \(\frac{2}{3} > \frac{1}{3}\) nên xác suất đồng còn lại là vàng cao hơn nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Gọi \(C\) là biến cố “Rút được đồng vàng ở lần thứ hai từ một trong hai rương còn lại”
Nếu đang ở rương I (xác suất\(\frac{2}{3}\)): Hai rương còn lại là II (0 vàng) và III (\(\frac{1}{2}\)vàng).
Xác suất rút được vàng là: \(P\left( {C|{A_1} \cap B} \right) = \frac{1}{2}.0 + \frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{4}\).
Nếu đang ở rương III (xác suất\(\frac{1}{3}\)): Hai rương còn lại là I (1 vàng) và II (0 vàng).
Xác suất rút được vàng là \(P\left( {C|{A_3} \cap B} \right) = \frac{1}{2}.1 + \frac{1}{2}.0 = \frac{1}{2}\)
Xác suất cần tìm là :
\(P\left( {C|B} \right) = P\left( {{A_1}|B} \right).P\left( {C|{A_1} \cap B} \right) + P\left( {{A_3}|B} \right).P\left( {C|{A_3} \cap B} \right) = \frac{2}{3}.\frac{1}{4} + \frac{1}{3}.\frac{1}{2} = \frac{1}{3}\) nên mệnh đề d) đúng