Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), mắt một người quan sát đặt tại điểm \(M\left( {2;\, - 1;\,4} \right)\) đang nhìn về phía một thanh kim loại \(AB\) với \(A\left( {8;5; - 2} \right)\) và \(B\left( { - 4;11; - 2} \right)\). Một tấm bìa cứng có dạng hình tròn thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có tâm \(O\left( {0;0;0} \right)\) và bán kính \(R\). Biết rằng tấm bìa này che khuất hoàn toàn thanh \(AB\) đối với người quan sát tại điểm \(M\). Hỏi giá trị nhỏ nhất của \({R^2}\) bằng bao nhiêu?

Tấm bìa hình tròn nằm trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\)có phương trình \(z = 0\).

Để tấm bìa che khuất hoàn toàn thanh \[AB\] đối với người quan sát tại \(M\), thì hình chiếu xuyên tâm \(M\) của đoạn thẳng \[AB\] lên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) phải nằm hoàn toàn bên trong tấm bìa hình tròn.

Gọi \(A'\) và \(B'\) lần lượt là giao điểm của các tia\(MA\), \(MB\)với mặt phẳng\(\left( {Oxy} \right)\).

Khi đó đoạn thẳng \(A'B'\) chính là hình chiếu của thanh \[AB\] lên \(\left( {Oxy} \right)\).

Nhận xét quan trọng: Để đoạn thẳng \(A'B'\) nằm trọn trong hình tròn tâm \(O\)bán kính\(R\), khoảng cách từ \(O\) đến mọi điểm trên đoạn \(A'B'\)phải \( \le R\).

Vì hàm khoảng cách từ một điểm đến các điểm trên một đoạn thẳng đạt GTLN tại một trong hai đầu mút, ta chỉ cần điều kiện: \(R \ge \max \left( {OA';OB'} \right) \Leftrightarrow {R^2} \ge \max \left( {O{{A'}^2};O{{B'}^2}} \right)\)

Đường thẳng \(MA\)đi qua \[M\left( {2; - 1;4} \right)\]và có vectơ chỉ phương:\[\overrightarrow {MA{\rm{ }}}  = 6\left( {1;1; - 1} \right)\]

Phương trình tham số của \(MA:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + t}\\{y =  - 1 + t}\\{z = 4 - t}\end{array}} \right.\)

\(MA \cap \left( {Oxy} \right) = A'\) nên \[z = 0 \Rightarrow 4 - t = 0 \Rightarrow t = 4\] thay vào phương trình, ta được \(A'\left( {6;3;0} \right)\)

Đường thẳng \(MB\)đi qua \[M\left( {2; - 1;4} \right)\]và có vectơ chỉ phương:\(\overrightarrow {MB}  = 6\left( { - 1;2; - 1} \right)\)

Phương trình tham số của \(MB:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - k}\\{y =  - 1 + 2k}\\{z = 4 - k}\end{array}} \right.\); \(MB \cap \left( {Oxy} \right) = B'\) nên \[z = 0 \Rightarrow 4 - k = 0 \Rightarrow k = 4\]

Thay \[k = 4\]vào phương trình, ta được \(B'\left( { - 2;7;0} \right)\)

Ta tính bình phương khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\left( {0;0;0} \right)\)đến \(A'\)và\(B'\):

\[O{A'^2} = {6^2} + {3^2} = 45\]; \[O{B'^2} = {\left( { - 2} \right)^2} + {7^2} = 53\]

Vì \(O{B'^2} > O{A'^2}\) nên điểm \(B'\)nằm xa tâm \(O\) hơn.

Để hình tròn chứa được cả đoạn\(A'B'\), ta cần có \({R^2} \ge \max \left( {45;53} \right) = 53\)

Giá trị nhỏ nhất của \({R^2}\)bằng $\boxed{53}$