Vào dịp sinh nhật của mình, Nam được tặng một chiếc bánh sinh nhật hình nón cụt có bán kính đáy lần lượt là \[30\]cm; \[20\]cm và chiều cao là \(50\)cm. Sau khi nhắm mắt và ước, anh Shiper quên không nhìn nên vô tình dùng dao cắt chiếc bánh bởi 1 mặt phẳng đi qua tâm đáy đường tròn lớn và song song với đường sinh. Khi ấy chiếc bánh được chia ra làm 2 phần. Tính thể tích phần nhỏ hơn (tính theo đơn vị dm³ và làm tròn đến hàng phần mười)
Câu hỏi trong đề: Đề ôn thi Tốt nghiệp THPT Toán có đáp án - Đề số 20 !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua tâm đáy đường tròn lớn và song song với đường sinh, khi ấy thiết diện của \(\left( \alpha \right)\) với mặt nón tạo thành một đường cong parabol \(\left( C \right)\), khi ấy thiết diện này chia khối nón thành 2 phần với thể tích phần nhỏ hơn được tô đậm hơn như hình bên trái.
Sau đó xét mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song với đường tròn đáy cắt thể tích phần nhỏ hơn. Khi ấy ta thu được mặt cắt là hình viên phân có diện tích \(S\left( t \right)\) như hai hình bên phải (hình vẽ dưới)
Đặt \(H,O\) lần lượt là tâm đường tròn đáy lớn và đường tròn thiết diện tạo bởi mặt phẳng \(\left( P \right)\) với tổng thể khối nón. Chọn trục \(Ot\) hướng lên theo chiều cao khối nón, đặt \(OH = t \in \left[ {0;50} \right]\)
Theo định lí Talet, ta có: \(\frac{{HO}}{{HK}} = \frac{{OA}}{{KL}} \Leftrightarrow \frac{{t}}{{50}} = \frac{{OA}}{{30 - 20}} \Rightarrow OA = \frac{t}{5}\left( {cm} \right)\)
Suy ra: \(OB = OD = AD - AO = 30 - \frac{t}{5}\left( {cm} \right){\rm{ }};{\rm{ }}BC = 2\sqrt {O{B^2} - O{A^2}} = 2\sqrt {900 - 12t} \left( {cm} \right)\)
Với \(\widehat {AOB} = \alpha \to \cos \alpha = \frac{{OA}}{{OB}} = \frac{t}{{150 - t}} \to \alpha = \arccos \left( {\frac{t}{{150 - t}}} \right)\), ta suy ra diện tích hình quạt tròn quét góc \(\widehat {BOC}\) là: \({S_c} = \frac{{2\alpha }}{{2\pi }}\pi O{B^2} = \alpha O{B^2} = {\left( {30 - \frac{t}{5}} \right)^2}\arccos \left( {\frac{t}{{150 - t}}} \right)\left( {c{m^2}} \right)\)
Mà diện tích tam giác \(BOC\) là: \({S_{\Delta BOC}} = \frac{1}{2}OA.BC = \frac{{t\sqrt {900 - 12t} }}{5}\left( {c{m^2}} \right)\) nên suy ra:
\(S\left( t \right) = {S_c} - {S_{\Delta BOC}} = {\left( {30 - \frac{t}{5}} \right)^2}\arccos \left( {\frac{t}{{150 - t}}} \right) - \frac{{t\sqrt {900 - 12t} }}{5}\left( {c{m^2}} \right)\)
Vậy thể tích cần tìm bằng:
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Lời giải
Dựa vào đồ thị, ta thấy hai đường biểu diễn hiệu suất \({Q'_1}\left( t \right)\) và \({Q'_2}\left( t \right)\) cắt nhau tại thời điểm \(t = 5\)giờ.
Tại điểm này, hiệu suất của hai người bằng nhau:
\({Q'_1}\left( 5 \right) = {Q'_2}\left( 5 \right) \Leftrightarrow - {2.5^2} + 4.5 + 58 = 53 + a.5 \Rightarrow a = - 5\)
Vậy \({Q'_2}\left( t \right) = 53 - 5t\) nên mệnh đề a) sai
Xét mệnh đề b)
Trên đồ thị, tại khoảng thời gian từ \(t = 0\) đến \(t = 5\), đồ thị \({Q'_1}\left( t \right)\) nằm trên \({Q'_2}\left( t \right)\) (A làm nhanh hơn B).
Tuy nhiên, từ sau \(t = 5\)đến\(t = 6\), đồ thị \({Q'_1}\left( t \right)\) nằm phía dưới \({Q'_2}\left( t \right)\) (B làm nhanh hơn A) nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Gọi \[f\left( t \right) = {Q_1}\left( t \right) - {Q_2}\left( t \right)\]là hàm số biểu thị sự chênh lệch sản phẩm tích lũy.
Để tìm giá trị cực đại của\(f\left( t \right)\), ta xét\(f'\left( t \right) = {Q'_1}\left( t \right) - {Q'_2}\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 5\).
Trước \(t = 5\), \({Q'_1}\left( t \right) > {Q'_2}\left( t \right)\) nên khoảng cách (ưu thế của A) đang tăng dần.
Sau \(t = 5\), \({Q'_1}\left( t \right) < {Q'_2}\left( t \right)\) nên B bắt đầu rút ngắn khoảng cách, dẫn đến chênh lệch giảm đi.
Do đó, chênh lệch lớn nhất xảy ra tại đúng thời điểm\(t = 5\)nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Sản phẩm của công nhân A:\({Q_1}\left( 6 \right) = \int\limits_0^6 {\left( { - 2{t^2} + 4t + 58} \right)dt} = 276\)
Sản phẩm của công nhân B:\({Q_2}\left( 6 \right) = \int\limits_0^6 {\left( {53 - 5t} \right)dt} = 228\)
Tổng sản phẩm:\(276 + 228 = 504\)nên mệnh đề d) đúng
Lời giải
Đáp án:
Tổng thời gian tại bến (tải + dỡ): \({T_b} = t + f\left( t \right).0,001 = t + \frac{{2000t}}{{2t + 1}}.0,001 = t + \frac{{2t}}{{2t + 1}}\)(giờ)
Tổng chi phí vận hành cho một chuyến\(\left( {{C_t}} \right)\):
Chi phí tại bến: \(4.{T_b} = 4\left( {t + \frac{{2t}}{{2t + 1}}} \right)\)(triệu đồng).
Chi phí trên biển: \(10.2,5 = 25\)(triệu đồng) \( \Rightarrow {C_t} = 4t + \frac{{8t}}{{2t + 1}} + 25\)
Chi phí vận chuyển trung bình cho mỗi chiếc xe \(\left( {{C_{tb}}} \right)\)là:
\({C_{tb}}\left( t \right) = \frac{{{C_t}}}{{f\left( t \right)}} = \frac{{4t + \frac{{8t}}{{2t + 1}} + 25}}{{\frac{{2000t}}{{2t + 1}}}} = \frac{{8{t^2} + 62t + 25}}{{2000t}}\)
Để chi phí trung bình thấp nhất, ta xét \({C_{tb}}^\prime \left( t \right)\):
\({C_{tb}}\left( t \right) = \frac{{8{t^2} + 62t + 25}}{{2000t}} \Rightarrow {C_{tb}}^\prime \left( t \right) = \frac{{8{t^2} - 25}}{{2000{t^2}}} = 0 \Leftrightarrow 8{t^2} - 25 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = \frac{{5\sqrt 2 }}{4}\left( n \right)}\\{t = - \frac{{5\sqrt 2 }}{4}\left( l \right)}\end{array}} \right.\)
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số chi phí trung bình \({C_{tb}}\left( t \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm cực tiểu có hoành độ là \(t = \frac{{5\sqrt 2 }}{4}\)giờphút.
Câu 3
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập