Một chiếc phà chạy giữa đất liền và một hòn đảo. Khảo sát thực tế cho thấy, nếu thời gian tải xe lên phà là \(t\) giờ \(\left( {t > 0} \right)\) thì số xe tải được là \(f\left( t \right) = \frac{{2000t}}{{2t + 1}}\) (xe). Biết thời gian dỡ mỗi chiếc xe xuống bến là \(3,6\)giây còn thời gian phà chạy trên biển cho cả hai chiều đi và về là \(2,5\) giờ. Chi phí vận hành phà khi neo đậu tại bến (để tải và dỡ xe) là \(4\) triệu đồng/giờ, còn khi chạy trên biển là \(10\) triệu đồng/giờ. Hỏi cần dành bao nhiêu phút để tải xe lên phà cho mỗi chuyến nhằm sao cho chi phí vận chuyển trung bình cho mỗi chiếc xe là thấp nhất? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Xét mệnh đề a)
Dựa vào đồ thị, ta thấy hai đường biểu diễn hiệu suất \({Q'_1}\left( t \right)\) và \({Q'_2}\left( t \right)\) cắt nhau tại thời điểm \(t = 5\)giờ.
Tại điểm này, hiệu suất của hai người bằng nhau:
\({Q'_1}\left( 5 \right) = {Q'_2}\left( 5 \right) \Leftrightarrow - {2.5^2} + 4.5 + 58 = 53 + a.5 \Rightarrow a = - 5\)
Vậy \({Q'_2}\left( t \right) = 53 - 5t\) nên mệnh đề a) sai
Xét mệnh đề b)
Trên đồ thị, tại khoảng thời gian từ \(t = 0\) đến \(t = 5\), đồ thị \({Q'_1}\left( t \right)\) nằm trên \({Q'_2}\left( t \right)\) (A làm nhanh hơn B).
Tuy nhiên, từ sau \(t = 5\)đến\(t = 6\), đồ thị \({Q'_1}\left( t \right)\) nằm phía dưới \({Q'_2}\left( t \right)\) (B làm nhanh hơn A) nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Gọi \[f\left( t \right) = {Q_1}\left( t \right) - {Q_2}\left( t \right)\]là hàm số biểu thị sự chênh lệch sản phẩm tích lũy.
Để tìm giá trị cực đại của\(f\left( t \right)\), ta xét\(f'\left( t \right) = {Q'_1}\left( t \right) - {Q'_2}\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 5\).
Trước \(t = 5\), \({Q'_1}\left( t \right) > {Q'_2}\left( t \right)\) nên khoảng cách (ưu thế của A) đang tăng dần.
Sau \(t = 5\), \({Q'_1}\left( t \right) < {Q'_2}\left( t \right)\) nên B bắt đầu rút ngắn khoảng cách, dẫn đến chênh lệch giảm đi.
Do đó, chênh lệch lớn nhất xảy ra tại đúng thời điểm\(t = 5\)nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Sản phẩm của công nhân A:\({Q_1}\left( 6 \right) = \int\limits_0^6 {\left( { - 2{t^2} + 4t + 58} \right)dt} = 276\)
Sản phẩm của công nhân B:\({Q_2}\left( 6 \right) = \int\limits_0^6 {\left( {53 - 5t} \right)dt} = 228\)
Tổng sản phẩm:\(276 + 228 = 504\)nên mệnh đề d) đúng

Gọi \({A_1}\) là biến cố chọn được rương I
Gọi \({A_2}\) là biến cố chọn được rương II
Gọi \({A_3}\) là biến cố chọn được rương III
Gọi \(B\)là biến cố đồng tiền rút ra lần đầu là đồng vàng:
Vì các rương giống hệt nhau nên: \(P\left( {{A_1}} \right) = P\left( {{A_2}} \right) = P\left( {{A_3}} \right)\, = \frac{1}{3}\)
Xét mệnh đề a)
Xác suất rút được đồng vàng khi biết đã chọn từng rương là:
\(P\left( {B|{A_1}} \right) = 1\); \(P\left( {B|{A_2}} \right) = 0\); \(P\left( {B|{A_3}} \right) = \frac{1}{2}\)
Áp dụng công thức xác suất toàn phần:
\(P\left( B \right) = P\left( {{A_1}} \right).P\left( {B|{A_1}} \right) + P\left( {{A_2}} \right).P\left( {B|{A_2}} \right) + P\left( {{A_3}} \right).P\left( {B|{A_3}} \right) = \frac{1}{3}.1 + \frac{1}{3}.0 + \frac{1}{3}.\frac{1}{2} = \frac{1}{2}\) nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Xác suất chọn đúng rương I khi biết đã rút được đồng vàng:
\[P\left( {{A_1}|B} \right) = \frac{{P\left( {{A_1}} \right).P\left( {B|{A_1}} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{1}{3}.1}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{2}{3} \approx 66,67\% \] nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Biết lần đầu rút được vàng, ta xét hai khả năng còn lại của rương đó:
Xác suất đồng còn lại là vàng chính là xác suất chúng ta đang ở rương I: \(P\left( {{A_1}|B} \right) = \frac{2}{3}\)
Xác suất đồng còn lại là bạc chính là xác suất chúng ta đang ở rương III: \(P\left( {{A_3}|B} \right) = \frac{1}{3}\)
Vì \(\frac{2}{3} > \frac{1}{3}\) nên xác suất đồng còn lại là vàng cao hơn nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Gọi \(C\) là biến cố “Rút được đồng vàng ở lần thứ hai từ một trong hai rương còn lại”
Nếu đang ở rương I (xác suất\(\frac{2}{3}\)): Hai rương còn lại là II (0 vàng) và III (\(\frac{1}{2}\)vàng).
Xác suất rút được vàng là: \(P\left( {C|{A_1} \cap B} \right) = \frac{1}{2}.0 + \frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{4}\).
Nếu đang ở rương III (xác suất\(\frac{1}{3}\)): Hai rương còn lại là I (1 vàng) và II (0 vàng).
Xác suất rút được vàng là \(P\left( {C|{A_3} \cap B} \right) = \frac{1}{2}.1 + \frac{1}{2}.0 = \frac{1}{2}\)
Xác suất cần tìm là :
\(P\left( {C|B} \right) = P\left( {{A_1}|B} \right).P\left( {C|{A_1} \cap B} \right) + P\left( {{A_3}|B} \right).P\left( {C|{A_3} \cap B} \right) = \frac{2}{3}.\frac{1}{4} + \frac{1}{3}.\frac{1}{2} = \frac{1}{3}\) nên mệnh đề d) đúng