Một chiếc phà chạy giữa đất liền và một hòn đảo. Khảo sát thực tế cho thấy, nếu thời gian tải xe lên phà là \(t\) giờ \(\left( {t > 0} \right)\) thì số xe tải được là \(f\left( t \right) = \frac{{2000t}}{{2t + 1}}\) (xe). Biết thời gian dỡ mỗi chiếc xe xuống bến là \(3,6\)giây còn thời gian phà chạy trên biển cho cả hai chiều đi và về là \(2,5\) giờ. Chi phí vận hành phà khi neo đậu tại bến (để tải và dỡ xe) là \(4\) triệu đồng/giờ, còn khi chạy trên biển là \(10\) triệu đồng/giờ. Hỏi cần dành bao nhiêu phút để tải xe lên phà cho mỗi chuyến nhằm sao cho chi phí vận chuyển trung bình cho mỗi chiếc xe là thấp nhất? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Xét mệnh đề a)
Dựa vào đồ thị, ta thấy hai đường biểu diễn hiệu suất \({Q'_1}\left( t \right)\) và \({Q'_2}\left( t \right)\) cắt nhau tại thời điểm \(t = 5\)giờ.
Tại điểm này, hiệu suất của hai người bằng nhau:
\({Q'_1}\left( 5 \right) = {Q'_2}\left( 5 \right) \Leftrightarrow - {2.5^2} + 4.5 + 58 = 53 + a.5 \Rightarrow a = - 5\)
Vậy \({Q'_2}\left( t \right) = 53 - 5t\) nên mệnh đề a) sai
Xét mệnh đề b)
Trên đồ thị, tại khoảng thời gian từ \(t = 0\) đến \(t = 5\), đồ thị \({Q'_1}\left( t \right)\) nằm trên \({Q'_2}\left( t \right)\) (A làm nhanh hơn B).
Tuy nhiên, từ sau \(t = 5\)đến\(t = 6\), đồ thị \({Q'_1}\left( t \right)\) nằm phía dưới \({Q'_2}\left( t \right)\) (B làm nhanh hơn A) nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Gọi \[f\left( t \right) = {Q_1}\left( t \right) - {Q_2}\left( t \right)\]là hàm số biểu thị sự chênh lệch sản phẩm tích lũy.
Để tìm giá trị cực đại của\(f\left( t \right)\), ta xét\(f'\left( t \right) = {Q'_1}\left( t \right) - {Q'_2}\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 5\).
Trước \(t = 5\), \({Q'_1}\left( t \right) > {Q'_2}\left( t \right)\) nên khoảng cách (ưu thế của A) đang tăng dần.
Sau \(t = 5\), \({Q'_1}\left( t \right) < {Q'_2}\left( t \right)\) nên B bắt đầu rút ngắn khoảng cách, dẫn đến chênh lệch giảm đi.
Do đó, chênh lệch lớn nhất xảy ra tại đúng thời điểm\(t = 5\)nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Sản phẩm của công nhân A:\({Q_1}\left( 6 \right) = \int\limits_0^6 {\left( { - 2{t^2} + 4t + 58} \right)dt} = 276\)
Sản phẩm của công nhân B:\({Q_2}\left( 6 \right) = \int\limits_0^6 {\left( {53 - 5t} \right)dt} = 228\)
Tổng sản phẩm:\(276 + 228 = 504\)nên mệnh đề d) đúng

Tấm bìa hình tròn nằm trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\)có phương trình \(z = 0\).

Để tấm bìa che khuất hoàn toàn thanh \[AB\] đối với người quan sát tại \(M\), thì hình chiếu xuyên tâm \(M\) của đoạn thẳng \[AB\] lên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) phải nằm hoàn toàn bên trong tấm bìa hình tròn.

Gọi \(A'\) và \(B'\) lần lượt là giao điểm của các tia\(MA\), \(MB\)với mặt phẳng\(\left( {Oxy} \right)\).

Khi đó đoạn thẳng \(A'B'\) chính là hình chiếu của thanh \[AB\] lên \(\left( {Oxy} \right)\).

Nhận xét quan trọng: Để đoạn thẳng \(A'B'\) nằm trọn trong hình tròn tâm \(O\)bán kính\(R\), khoảng cách từ \(O\) đến mọi điểm trên đoạn \(A'B'\)phải \( \le R\).

Vì hàm khoảng cách từ một điểm đến các điểm trên một đoạn thẳng đạt GTLN tại một trong hai đầu mút, ta chỉ cần điều kiện: \(R \ge \max \left( {OA';OB'} \right) \Leftrightarrow {R^2} \ge \max \left( {O{{A'}^2};O{{B'}^2}} \right)\)

Đường thẳng \(MA\)đi qua \[M\left( {2; - 1;4} \right)\]và có vectơ chỉ phương:\[\overrightarrow {MA{\rm{ }}}  = 6\left( {1;1; - 1} \right)\]

Phương trình tham số của \(MA:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + t}\\{y =  - 1 + t}\\{z = 4 - t}\end{array}} \right.\)

\(MA \cap \left( {Oxy} \right) = A'\) nên \[z = 0 \Rightarrow 4 - t = 0 \Rightarrow t = 4\] thay vào phương trình, ta được \(A'\left( {6;3;0} \right)\)

Đường thẳng \(MB\)đi qua \[M\left( {2; - 1;4} \right)\]và có vectơ chỉ phương:\(\overrightarrow {MB}  = 6\left( { - 1;2; - 1} \right)\)

Phương trình tham số của \(MB:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - k}\\{y =  - 1 + 2k}\\{z = 4 - k}\end{array}} \right.\); \(MB \cap \left( {Oxy} \right) = B'\) nên \[z = 0 \Rightarrow 4 - k = 0 \Rightarrow k = 4\]

Thay \[k = 4\]vào phương trình, ta được \(B'\left( { - 2;7;0} \right)\)

Ta tính bình phương khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\left( {0;0;0} \right)\)đến \(A'\)và\(B'\):

\[O{A'^2} = {6^2} + {3^2} = 45\]; \[O{B'^2} = {\left( { - 2} \right)^2} + {7^2} = 53\]

Vì \(O{B'^2} > O{A'^2}\) nên điểm \(B'\)nằm xa tâm \(O\) hơn.

Để hình tròn chứa được cả đoạn\(A'B'\), ta cần có \({R^2} \ge \max \left( {45;53} \right) = 53\)

Giá trị nhỏ nhất của \({R^2}\)bằng $\boxed{53}$