Lấy ngẫu nhiên một số tự nhiên có \(5\) chữ số. Khi đó, xác suất để chọn được số tự nhiên có dạng \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}} \) thỏa mãn điều kiện \({a_1} < {a_2} + 3 \le {a_3} - 1 < {a_4} + 3 \le {a_5} + 2\) bằng \(\frac{m}{n}\) (với \(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản và \(m,\,n \in \mathbb{Z}\)). Tính giá trị của biểu thức \(T = 95m - n\)

Số các số tự nhiên có 5 chữ số là:\(n\left( \Omega \right) = 9.10.10.10.10 = 90000\)
Gọi \(A\) là biến cố số được chọn thỏa mãn điều kiện bài toán.
Ta biến đổi các bất phương trình có dấu :\( \le \)” thành các bất đẳng thức ngặt (dấu “\( < \)”) bằng cách cộng thêm các số nguyên phù hợp: \[{a_1} < {a_2} + 3\]; \[{a_2} + 3 \le {a_3} - 1 \Leftrightarrow {a_2} + 4 \le {a_3} \Leftrightarrow {a_2} + 3 < {a_3}\]
\[{a_3} - 1 < {a_4} + 3 \Leftrightarrow {a_3} \le {a_4} + 3 \Leftrightarrow {a_3} < {a_4} + 4\]\[{a_4} + 3 \le {a_5} + 2 \Leftrightarrow {a_4} + 1 \le {a_5} \Leftrightarrow {a_4} + 4 \le {a_5} + 3 \Leftrightarrow {a_4} + 4 < {a_5} + 4\]
Đặt các biến mới để tạo thành một dãy tăng ngặt:
\({y_1} = {a_1}\); \[{y_2} = {a_2} + 3\]; \({y_3} = {a_3}\); \({y_4} = {a_4} + 4\); \({y_5} = {a_5} + 4\)
Khi đó, điều kiện bài toán trở thành dãy bất đẳng thức:\({y_1} < {y_2} < {y_3} < {y_4} < {y_5}\)
Từ điều kiện của các chữ số \({a_i}\), ta có:
\(1 \le {a_1} \le 9 \Rightarrow 1 \le {y_1} \le 9\)
\(0 \le {a_2} \le 9 \Rightarrow 3 \le {y_2} \le 12\)
\(0 \le {a_3} \le 9 \Rightarrow 0 \le {y_3} \le 9\)
\(0 \le {a_4} \le 9 \Rightarrow 4 \le {y_4} \le 13\)
\(0 \le {a_5} \le 9 \Rightarrow 4 \le {y_5} \le 13\)
Kết hợp với dãy tăng ngặt \({y_1} < {y_2} < {y_3} < {y_4} < {y_5}\), ta suy ra:\(1 \le {y_1} < {y_2} < {y_3} < {y_4} < {y_5} \le 13\)
Tuy nhiên, ta cần kiểm tra xem có điều kiện nào của \({y_i}\) bị vi phạm khi chọn 5 số bất kỳ từ 1 đến13 không:
\({y_2} \ge 3\): Điều kiện này có thể bị vi phạm nếu\({y_1} = 1\)và \({y_2} = 2\)
\({y_3} \le 9\): Điều kiện này có thể bị vi phạm nếu . Các điều kiện còn lại luôn được thỏa mãn do tính chất của dãy tăng ngặt.
Tổng số cách chọn 5 số phân biệt từ tập \(K = \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13} \right\}\)là:\(C_{15}^3 = 1287\)cách
Ta sẽ trừ đi các trường hợp vi phạm:
Trường hợp 1: \({y_2} \le 2 \Rightarrow {y_2} = 2\)và \({y_2} = 1\). Ta cần chọn 3 số \({y_3} < {y_4} < {y_5}\) từ tập \(K\backslash \left\{ {1;2} \right\}\) (gồm 11 số). Số cách chọn là: \(C_{11}^3 = 165\)cách.
Trường hợp 2: \({y_3} \ge 10\) . Vì \({y_3} < {y_4} < {y_5} \le 13\), nên \({y_3}\) chỉ có thể là 10 hoặc 11.
Nếu \({y_3} = 10\): Chọn \({y_4},{y_5}\) từ \(\left\{ {11;12;13} \right\}\) có \(C_3^2 = 3\) cách.
Chọn \({y_1},{y_2}\) từ \(\left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8;9} \right\}\) có \(C_9^2 = 36\) cách. Tổng cộng: \(3.36 = 108\) cách.
Nếu \({y_3} = 11\): Chọn \({y_4},{y_5}\) từ \(\left\{ {12;13} \right\}\) có \(C_2^2 = 1\) cách.
Chọn \({y_1},{y_2}\) từ \(\left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10} \right\}\) có \(C_{10}^2 = 45\) cách. Tổng cộng: \(1.45 = 45\) cách.
Tổng cộng của trường hợp 2 là: \(108 + 45 = 153\)
Phần giao của Trường hợp 1 và Trường hợp 2: (\({y_1} = 1,{y_2} = 2\) và \({y_3} \ge 10\))
Nếu\({y_3} = 10\): Chọn \({y_4},{y_5}\) từ \(\left\{ {11;12;13} \right\}\) có \(C_3^2 = 3\) cách
Nếu \({y_3} = 11\): Chọn \({y_4},{y_5}\) từ \(\left\{ {12;13} \right\}\) có \(C_2^2 = 1\) cách.
Tổng số cách trùng lặp là: 3+1=4 cách
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là:\(n\left( A \right) = 1287 - 165 - 153 + 4 = 973\)
Xác suất cần tìm là: $P\left(A\right)=\frac{973}{90000}\Rightarrow T=95m-n=95.973-90000=\boxed{2435}$