Gọi \(S\) là tập hợp các số tự nhiên có bốn chữ số, trong đó các chữ số không đồng thời giống nhau (không chứa các số dạng \(\overline {aaaa} \)). Chọn ngẫu nhiên một số từ tập \(S\) và thực hiện quy trình sau:

-         Sắp xếp các chữ số của số vừa chọn theo thứ tự giảm dần để tạo thành số lớn nhất

-         Sắp xếp các chữ số của số vừa chọn theo thứ tự tăng dần để được số nhỏ nhất (chấp nhận chữ số \(0\) đứng đầu)

-         Lấy số lớn nhất trừ đi số nhỏ nhất để thu được một hiệu số

Biết xác suất để hiệu số thu được là một số đối xứng có \(4\) chữ số (số đối xứng có dạng \(\overline {abba} \) với \(a \ne 0\)) là  \(T\). Tính \(\frac{1}{T}\)

Tập hợp \(S\) gồm các số tự nhiên có \(4\) chữ số mà các chữ số không giống hệt nhau.
Số các số tự nhiên có \(4\) chữ số là từ \(1000\) đến \(9999\) có \(9000\) số.
Các số có \(4\) chữ số giống hệt nhau là \(\left\{ {1111;2222;3333;...9999} \right\}\)có \(9\) số.
Vậy số phần tử của tập \(S\) là:\(n\left( \Omega \right) = 9000 - 9 = 8991\)
Giả sử số được chọn có \(4\) chữ số là\(a;b;c;d\). Gọi các chữ số này sau khi sắp xếp thứ tự từ lớn đến bé là \(x;y;z;t\) (với \(9 \ge x \ge y \ge z \ge t \ge 0\)).
Số lớn nhất tạo được: \(\overline {xyzt} = 1000x + 100y + 10z + t\)
Số nhỏ nhất tạo được: \(\overline {txyx} = 1000t + 100z + 10y + x\)
Hiệu số \(d\)được tính bằng:
\(d = \left( {1000x + 100y + 10z + t} \right) - \left( {1000t + 100z + 10y + x} \right) = 999\left( {x - t} \right) + 90\left( {y - z} \right)\)
Đặt \(A = x - t\) và \(B = y - z\).
Vì các chữ số không giống hệt nhau nên \(x > t\) suy ra\(A \in \left\{ {1;2; \ldots ;9} \right\}\)
Đồng thời, từ điều kiện sắp xếp, ta có \(0 \le B \le A\).
Công thức hiệu số trở thành: \(d = 999A + 90B\)
Khai triển \(d\) theo hàng đơn vị, chục, trăm, nghìn: \(d = 1000A + 100\left( {B - 1} \right) + 10\left( {9 - B} \right) + \left( {10 - A} \right)\)
Để \(d\) là số đối xứng có \[4\]chữ số, chữ số hàng nghìn phải bằng hàng đơn vị và hàng trăm phải bằng hàng chục:
Hàng nghìn \( = \) Đơn vị: \(A = 10 - A \Rightarrow 2A = 10 \Rightarrow A = 5\)
Hàng trăm \( = \) Chục: \(B - 1 = 9 - B \Rightarrow 2B = 10 \Rightarrow B = 5\)
Từ đó, ta cần tìm các bộ số \(\left\{ {x;y;z;t} \right\}\) thỏa điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - t = A = 5}\\{y - z = B = 5}\end{array}} \right.\)
Vì\(x \ge y \ge z \ge t\), ta có chuỗi hiệu:\(\left( {x - t} \right) = \left( {x - y} \right) + \left( {y - z} \right) + \left( {z - t} \right)\)
Thay\[A = 5\], \[B = 5\]vào:\(5 = \left( {x - y} \right) + 5 + \left( {z - t} \right) \Leftrightarrow x = y;\,z = t\)
Bộ số được chọn phải có dạng \(\left\{ {x;x;t;t} \right\}\)thỏa điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - t = 5}\\{y - z = 5}\end{array}} \right.\)
\(\left\{ {5;5;0;0} \right\} \Rightarrow SCX = \frac{{4!}}{{2!.2!}}\) nhưng ta phải trừ các trường hợp số \(0\) đứng đầu
\(\left\{ {0505;0550;0550} \right\} \Rightarrow SCX = \frac{{4!}}{{2!.2!}} - 3 = 3\)cách
\(\left\{ {6;6;1;1} \right\} \Rightarrow SCX = \frac{{4!}}{{2!.2!}} = 6\)cách
\(\left\{ {7;7;2;2} \right\} \Rightarrow SCX = \frac{{4!}}{{2!.2!}} = 6\)cách
\(\left\{ {8;8;3;3} \right\} \Rightarrow SCX = \frac{{4!}}{{2!.2!}} = 6\) cách
\(\left\{ {9;9;4;4} \right\} \Rightarrow SCX = \frac{{4!}}{{2!.2!}} = 6\) cách
Tổng số kết quả thuận lợi: \(n\left( A \right) = 3 + 6 + 6 + 6 + 6 = 27\)cách
Xác suất $T=\frac{27}{8991}\iff \frac{1}{T}=\frac{8991}{27}=\boxed{333}$