Một khu nghỉ dưỡng có tổng cộng \[200\]căn biệt thự. Hiện tại, với mức giá thuê \(10\)triệu đồng/ngày, toàn bộ số biệt thự đều được thuê hết. Qua phân tích thị trường, quản lý thấy rằng cứ tăng giá thuê thêm \(1\) triệu đồng/ngày thì sẽ có thêm \(10\) căn bị bỏ trống. Biết chi phí vận hành cho mỗi căn có khách thuê là \(2,5\) triệu đồng/ngày và chi phí bảo trì cho mỗi căn bỏ trống là \[0,5\]triệu đồng/ngày. Để thu được lợi nhuận mỗi ngày cao nhất, khu nghỉ dưỡng cần định giá thuê mỗi căn biệt thự là bao nhiêu triệu đồng?

Từ dữ kiện đề bài, ta xác định được: trạm phòng thủ có tọa độ \(M\left( {1;2;3} \right)\).
Vùng năng lượng bảo vệ (khối cầu\(S\)): có tâm \(I\left( {5;2;3} \right)\) và bán kính\(R = \sqrt 4 = 2\).
Mảnh rác vũ trụ \(N\)thuộc đường thẳng \(\Delta \) nên tọa độ của \(N\)theo tham số \(t\)là: \[N\left( {9;t;9 - t} \right)\]
Khoảng cách \(MN\)và điều kiện để tia laser không xuyên qua khối cầu.
Vectơ \(\overrightarrow {MN} = \left( {8;t - 2;6 - t} \right) \Rightarrow M{N^2} = {8^2} + {\left( {t - 2} \right)^2} + {\left( {6 - t} \right)^2} = 2{t^2} - 16t + 104\) và \(\overrightarrow {MI} = \left( {4;0;0} \right)\)
Để đảm bảo an toàn, khoảng cách từ tâm \(I\) đến đường thẳng \(MN\)phải lớn hơn hoặc bằng bán kính \(R\):
\(d\left( {I,MN} \right) \ge R \Leftrightarrow \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MI} ,\overrightarrow {MN} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right|}} \ge 2 \Leftrightarrow \frac{{{0^2} + {{\left( {4t - 24} \right)}^2} + {{\left( {4t - 8} \right)}^2}}}{{2{t^2} - 16t + 104}} \ge {2^2} \Leftrightarrow 3{t^2} - 24t + 28 \ge 0\)
Xét hàm số\(f\left( t \right) = M{N^2} = 2{t^2} - 16t + 104\). Đây là một parabol có đỉnh tại\(t = 4\).
Tuy nhiên, tại \(t = 4\)thì \({3.4^2} - 24.4 + 28 = - 20 < 0\)(không thỏa mãn điều kiện an toàn).
Do đó, giá trị \(MN\)nhỏ nhất sẽ đạt được tại biên của vùng an toàn, tức là khi:
\(3{t^2} - 24t + 28 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{{12 - 2\sqrt {15} }}{3}\left( n \right)}\\{t = \frac{{12 + 2\sqrt {15} }}{3}\left( l \right)}\end{array}} \right.\)
Thay vào biểu thức\(M{N^2}\):

$f\left(\frac{12-2\sqrt{15}}{3}\right)=2{\left(\frac{12-2\sqrt{15}}{3}\right)}^2-16\left(\frac{12-2\sqrt{15}}{3}\right)+104=\frac{256}{3}\Rightarrow MN=\sqrt{\frac{256}{3}}.100\approx \boxed{924}$ km

Phương trình nồng độ thuốc: \(y'\left( t \right) = - k.{e^{ - 0,5t}}.y\left( t \right) \Leftrightarrow \frac{{y'\left( t \right)}}{{y\left( t \right)}} = - k.{e^{ - 0,5t}}\)
Lấy nguyên hàm hai vế theo biến \(t\): \(\,\int {\frac{1}{y}} \,dy = \int { - k.{e^{ - 0,5t}}} dt \Leftrightarrow \ln \left| y \right| = - k.\frac{{{e^{ - 0,5t}}}}{{ - 0,5}} + C = 2k.{e^{ - 0,5t}} + C\)
Suy ra: \(y\left( t \right) = {e^{2k.{e^{ - 0,5t}} + C}} = {e^C} \cdot {e^{2k.{e^{ - 0,5t}}}}\). Khi đó, \(C' = {e^C}\), ta được: \(y\left( t \right) = C'.{e^{2k.{e^{ - 0,5t}}}}\)
Tại thời điểm ban đầu \[\left( {t = 0} \right)\]:
Nồng độ thuốc \(y\left( 0 \right) = 100\)mg/L\( \Rightarrow 100 = C'.{e^{2k.{e^0}}} = C'.{e^{2k}} \Rightarrow C' = \frac{{100}}{{{e^{2k}}}}\)
Thay \(C'\)ngược lại vào hàm số: \(y\left( t \right) = \frac{{100}}{{{e^{2k}}}}.{e^{2k.{e^{ - 0,5t}}}} = 100.{e^{2k\left( {{e^{ - 0,5t}} - 1} \right)}}\)
Tại thời điểm \(t = 2\)giờ: Nồng độ thuốc \(y\left( 2 \right) = 100.{e^{\frac{2}{e} - 2}}\).
Thay \(t = 2\)vào biểu thức vừa tìm được:
\(100.{e^{2k\left( {{e^{ - 0,5 \cdot 2}} - 1} \right)}} = 100.{e^{\frac{2}{e} - 2}} \Rightarrow 2k\left( {\frac{1}{e} - 1} \right) = \frac{2}{e} - 2 = 2\left( {\frac{1}{e} - 1} \right) \Rightarrow k = 1\)
Với \(k = 1\), hàm nồng độ thuốc là: \(y\left( t \right) = 100.{e^{2\left( {{e^{ - 0,5t}} - 1} \right)}}\)
Sau bốn giờ \[\left( {t = 4} \right)\], nồng độ thuốc trong máu là: $y\left(4\right)=100.e^{2\left(e^{-\mathrm{0,5}\cdot 4}-1\right)}\approx \boxed{\mathrm{17,7}}$ mg/L