Cho tập \(S = \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8;9} \right\}\). Bạn An chọn ngẫu nhiên ra \(6\) số và xếp vào \(6\) ô vuông được bố trí theo dạng bậc thang như hình vẽ. Tính xác suất tổng hai số ở mỗi hàng ngang là bằng nhau, đồng thời ba số nằm trên mỗi đường chéo thì tạo thành một cấp số cộng. Biết xác suất tính được có dạng phân số tối giản là \(\frac{b}{a}\) ( với \(a,b \in {\mathbb{N}^*}\)). Tính \(K = a - 656b\)
                   

Từ dữ kiện đề bài, ta xác định được: trạm phòng thủ có tọa độ \(M\left( {1;2;3} \right)\).
Vùng năng lượng bảo vệ (khối cầu\(S\)): có tâm \(I\left( {5;2;3} \right)\) và bán kính\(R = \sqrt 4 = 2\).
Mảnh rác vũ trụ \(N\)thuộc đường thẳng \(\Delta \) nên tọa độ của \(N\)theo tham số \(t\)là: \[N\left( {9;t;9 - t} \right)\]
Khoảng cách \(MN\)và điều kiện để tia laser không xuyên qua khối cầu.
Vectơ \(\overrightarrow {MN} = \left( {8;t - 2;6 - t} \right) \Rightarrow M{N^2} = {8^2} + {\left( {t - 2} \right)^2} + {\left( {6 - t} \right)^2} = 2{t^2} - 16t + 104\) và \(\overrightarrow {MI} = \left( {4;0;0} \right)\)
Để đảm bảo an toàn, khoảng cách từ tâm \(I\) đến đường thẳng \(MN\)phải lớn hơn hoặc bằng bán kính \(R\):
\(d\left( {I,MN} \right) \ge R \Leftrightarrow \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MI} ,\overrightarrow {MN} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right|}} \ge 2 \Leftrightarrow \frac{{{0^2} + {{\left( {4t - 24} \right)}^2} + {{\left( {4t - 8} \right)}^2}}}{{2{t^2} - 16t + 104}} \ge {2^2} \Leftrightarrow 3{t^2} - 24t + 28 \ge 0\)
Xét hàm số\(f\left( t \right) = M{N^2} = 2{t^2} - 16t + 104\). Đây là một parabol có đỉnh tại\(t = 4\).
Tuy nhiên, tại \(t = 4\)thì \({3.4^2} - 24.4 + 28 = - 20 < 0\)(không thỏa mãn điều kiện an toàn).
Do đó, giá trị \(MN\)nhỏ nhất sẽ đạt được tại biên của vùng an toàn, tức là khi:
\(3{t^2} - 24t + 28 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{{12 - 2\sqrt {15} }}{3}\left( n \right)}\\{t = \frac{{12 + 2\sqrt {15} }}{3}\left( l \right)}\end{array}} \right.\)
Thay vào biểu thức\(M{N^2}\):

$f\left(\frac{12-2\sqrt{15}}{3}\right)=2{\left(\frac{12-2\sqrt{15}}{3}\right)}^2-16\left(\frac{12-2\sqrt{15}}{3}\right)+104=\frac{256}{3}\Rightarrow MN=\sqrt{\frac{256}{3}}.100\approx \boxed{924}$ km

Phương trình nồng độ thuốc: \(y'\left( t \right) = - k.{e^{ - 0,5t}}.y\left( t \right) \Leftrightarrow \frac{{y'\left( t \right)}}{{y\left( t \right)}} = - k.{e^{ - 0,5t}}\)
Lấy nguyên hàm hai vế theo biến \(t\): \(\,\int {\frac{1}{y}} \,dy = \int { - k.{e^{ - 0,5t}}} dt \Leftrightarrow \ln \left| y \right| = - k.\frac{{{e^{ - 0,5t}}}}{{ - 0,5}} + C = 2k.{e^{ - 0,5t}} + C\)
Suy ra: \(y\left( t \right) = {e^{2k.{e^{ - 0,5t}} + C}} = {e^C} \cdot {e^{2k.{e^{ - 0,5t}}}}\). Khi đó, \(C' = {e^C}\), ta được: \(y\left( t \right) = C'.{e^{2k.{e^{ - 0,5t}}}}\)
Tại thời điểm ban đầu \[\left( {t = 0} \right)\]:
Nồng độ thuốc \(y\left( 0 \right) = 100\)mg/L\( \Rightarrow 100 = C'.{e^{2k.{e^0}}} = C'.{e^{2k}} \Rightarrow C' = \frac{{100}}{{{e^{2k}}}}\)
Thay \(C'\)ngược lại vào hàm số: \(y\left( t \right) = \frac{{100}}{{{e^{2k}}}}.{e^{2k.{e^{ - 0,5t}}}} = 100.{e^{2k\left( {{e^{ - 0,5t}} - 1} \right)}}\)
Tại thời điểm \(t = 2\)giờ: Nồng độ thuốc \(y\left( 2 \right) = 100.{e^{\frac{2}{e} - 2}}\).
Thay \(t = 2\)vào biểu thức vừa tìm được:
\(100.{e^{2k\left( {{e^{ - 0,5 \cdot 2}} - 1} \right)}} = 100.{e^{\frac{2}{e} - 2}} \Rightarrow 2k\left( {\frac{1}{e} - 1} \right) = \frac{2}{e} - 2 = 2\left( {\frac{1}{e} - 1} \right) \Rightarrow k = 1\)
Với \(k = 1\), hàm nồng độ thuốc là: \(y\left( t \right) = 100.{e^{2\left( {{e^{ - 0,5t}} - 1} \right)}}\)
Sau bốn giờ \[\left( {t = 4} \right)\], nồng độ thuốc trong máu là: $y\left(4\right)=100.e^{2\left(e^{-\mathrm{0,5}\cdot 4}-1\right)}\approx \boxed{\mathrm{17,7}}$ mg/L