Cho tập \(S = \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8;9} \right\}\). Bạn An chọn ngẫu nhiên ra \(6\) số và xếp vào \(6\) ô vuông được bố trí theo dạng bậc thang như hình vẽ. Tính xác suất tổng hai số ở mỗi hàng ngang là bằng nhau, đồng thời ba số nằm trên mỗi đường chéo thì tạo thành một cấp số cộng. Biết xác suất tính được có dạng phân số tối giản là \(\frac{b}{a}\) ( với \(a,b \in {\mathbb{N}^*}\)). Tính \(K = a - 656b\)
                   

Giai đoạn 1: Từ \(A\) đến \(B\)
Tọa độ: \(A\left( {10;10;10} \right)\) và \[B\left( {34;42;40} \right)\] nên vectơ \(\overrightarrow {AB} = \left( {24;32;30} \right)\).
Độ dài trên trục \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{24}^2} + {{32}^2} + {{30}^2}} = 50\)đơn vị
Khoảng cách thực tế: \({s_1} = 50.0,1 = 5\)km
Thời gian bay đoạn \(AB\): \({t_1} = \frac{5}{{150}} = \frac{1}{{30}}\)(giờ) = 2 phút.
Giai đoạn 2: Từ \(B\) đến \(D\)(trên đường thẳng \(BC\))
Tọa độ\(C\left( {114;42;100} \right)\). Vectơ \(\overrightarrow {BC} = \left( {80;0;60} \right)\).
Khoảng cách thực tế: \(BC = \sqrt {{{80}^2} + {{60}^2}} .0,1 = 10\)(km).
Máy bay bay theo hướng này trong 20 phút thì quãng đường \({s_2} = BD = 150.\frac{1}{3} = 50\)(km).
Vì máy bay bay 50 km theo hướng \(\overrightarrow {BC} \)(trong khi đoạn \(BC\)chỉ dài 10 km), nên máy bay đã bay vượt quá điểm \[C\].
Tọa độ điểm \(D\):\(D = B + 5\left( {C - B} \right) = \left( {34 + 5.80;42 + 5.0;40 + 5.60} \right) = \left( {434;42;340} \right)\).
Giai đoạn 3: Từ \(D\)đến \(E\) (khi gặp gió)
Thời gian: 15 phút = \(\frac{1}{4}\)giờ. Vận tốc: 120 km/h thì quãng đường \(DE = 120.\frac{1}{4} = 30\)(km).
Đổi ra đơn vị trục tọa độ: \(\frac{{30}}{{0,1}} = 300\)đơn vị
Gọi vectơ \(\overrightarrow {DE} = \left( {x;y;z} \right)\). Ta có \({x^2} + {y^2} + {z^2} = {300^2}\,\,\left( 1 \right)\)
Độ dốc: “Cứ đi \(2\sqrt 2 \) km ngang thì lên 1km cao” \( \Rightarrow \frac{z}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }} \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 8{z^2}\,\,\left( 2 \right)\)
Thay \(\left( 2 \right)\)vào\(\left( 1 \right)\): \(8{z^2} + {z^2} = 9000 \Rightarrow 9{z^2} = 90000 \Rightarrow z = 100\)(do máy bay lên)
Suy ra\(\sqrt {{x^2} + {y^2}} = 200\sqrt 2 \). Với góc lệch ${45}^{°}$ so với phương ngang: $\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}x=200\sqrt{2}.\cos {45}^{°}=200\\ y=200\sqrt{2}.\sin {45}^{°}=200\end{array}\right.$
Vậy \(\overrightarrow {DE} = \left( {200;200;100} \right)\)
Tọa độ điểm\(E:\,E = D + \overrightarrow {DE} = \left( {434 + 200;42 + 200;340 + 100} \right) = \left( {634;242;440} \right)\):
Xét mệnh đề a)
Tổng thời gian \(t = {t_{AB}} + {t_{BD}} + {t_{DE}} = 2 + 20 + 15 = 37\) phút nên mệnh đề a) sai
Xét mệnh đề b)
Khi gặp gió lớn (tại điểm\(D\)), độ cao thực tế là\({z_D}.0,1 = 340.0,1 = 34\)km nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
\(E\left( {634;242;440} \right) \Rightarrow a + b + c = 634 + 242 + 440 = 1316\)nên mệnh đề c) sai
Xét mệnh đề d)
Hướng dự kiến \({\vec v_1} = \overrightarrow {BC} = \left( {80;0;60} \right) = 20\left( {4;0;3} \right)\); thực tế: \({\vec v_2} = \overrightarrow {DE} = \left( {20;20;10} \right) = 10\left( {2;2;1} \right)\)
Tính cosin góc \(\varphi \) giữa hai vectơ: \(\cos \varphi = \frac{{\left| {4.2 + 0.2 + 3.1} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {0^2} + {3^2}} .\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{{11}}{{15}}\) nên mệnh đề d) đúng

Số tiền vay ban đầu \(A = 2000\) (triệu đồng).
Lãi suất theo tháng \({r_1} = \frac{{9\% }}{{12}} = 0,75\% = 0,0075\) với thời hạn \(n = 10.12 = 120\) (tháng).
Công thức tính số tiền trả góp hàng tháng cố định: \(m = \frac{{A.{r_1}.{{\left( {1 + {r_1}} \right)}^n}}}{{{{\left( {1 + {r_1}} \right)}^n} - 1}}\)
Thay số vào ta có: \(m = \frac{{2000.0,0075.{{\left( {1,0075} \right)}^{120}}}}{{{{\left( {1,0075} \right)}^{120}} - 1}} \approx 25,33515\)(triệu đồng)
Số tiền nợ còn lại \({S_{36}}\) sau \(k = 36\)tháng được tính theo công thức: \({S_{36}} = A{\left( {1 + {r_1}} \right)^k} - m.\frac{{{{\left( {1 + {r_1}} \right)}^k} - 1}}{{{r_1}}}\)
Thay các giá trị vào: \({S_{36}} = 2000{\left( {1,0075} \right)^{36}} - 25,33515.\frac{{{{1,0075}^{36}} - 1}}{{0,0075}} \approx 1574,68031\)(triệu đồng)
Lãi suất mới \({r_2} = \frac{{10,5\% }}{{12}} = 0,875\% = 0,00875\).
Ông B vẫn giữ nguyên mức trả \(m \approx 25,33515\) triệu đồng/tháng.
Giả sử sau thêm \(N\) tháng nữa thì ông B trả hết nợ. Ta tìm \(N\) từ phương trình:
\({S_{36}}{\left( {1 + {r_2}} \right)^N} - m \cdot \frac{{{{\left( {1 + {r_2}} \right)}^N} - 1}}{{{r_2}}} = 0\)
Suy ra \(1574,68031.{\left( {1,00875} \right)^N} - 25,33515 \cdot \frac{{{{1,00875}^N} - 1}}{{0,00875}} = 0 \Rightarrow N \approx 90,098\)tháng
Như vậy, ông B sẽ trả mức \(m\) trong 90 tháng tiếp theo. Đến tháng thứ 91 (kể từ khi đổi lãi suất), ông sẽ trả nốt số tiền còn lại để tất toán.
Dư nợ sau 90 tháng kể từ khi đổi lãi suất là: \({B_{90}} = {S_{36}}{\left( {1 + {r_2}} \right)^{90}} - m.\frac{{{{\left( {1 + {r_2}} \right)}^{90}} - 1}}{{{r_2}}}\)
\({B_{90}} \approx 1574,68031.{\left( {1,00875} \right)^{90}} - 25,33515 \cdot \frac{{{{1,00875}^{90}} - 1}}{{0,00875}} \approx 2,468\)(triệu đồng)
Số tiền phải trả ở tháng cuối cùng (tháng thứ 91) bao gồm cả gốc và lãi của số dư này:
$P=B_{90}.\left(1+r_2\right)=\mathrm{2,468.1,00875}\approx \boxed{\mathrm{2,49}}$ (triệu đồng)