Trong một nghiên cứu y khoa chuyên sâu về động học dược lý nhằm mục đích tối ưu hóa phác đồ điều trị và đảm bảo an toàn cho bệnh nhân, các nhà khoa học đang theo dõi sát nồng độ của một loại thuốc đặc trị \(y\left( t \right)\)(đơn vị: mg/L) có trong máu sau khi thực hiện tiêm tĩnh mạch. Quá trình này được mô hình hóa bởi phương trình sau: \(y'\left( t \right) = - k.{e^{ - 0.5t}}.y\left( t \right)\). Trong đó \(k\)là hằng số dương đặc trưng cho tốc độ chuyển hóa. Biết nồng độ thuốc tại thời điểm ban đầu ngay sau khi tiêm là \[100\]mg/L và sau hai giờ theo dõi, nồng độ giảm xuống còn \(100.{e^{\frac{2}{e} - 2}}\)(mg/L). Hãy tính nồng độ thuốc trong máu bệnh nhân sau bốn giờ kể từ lúc tiêm (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Từ dữ kiện đề bài, ta xác định được: trạm phòng thủ có tọa độ \(M\left( {1;2;3} \right)\).
Vùng năng lượng bảo vệ (khối cầu\(S\)): có tâm \(I\left( {5;2;3} \right)\) và bán kính\(R = \sqrt 4 = 2\).
Mảnh rác vũ trụ \(N\)thuộc đường thẳng \(\Delta \) nên tọa độ của \(N\)theo tham số \(t\)là: \[N\left( {9;t;9 - t} \right)\]
Khoảng cách \(MN\)và điều kiện để tia laser không xuyên qua khối cầu.
Vectơ \(\overrightarrow {MN} = \left( {8;t - 2;6 - t} \right) \Rightarrow M{N^2} = {8^2} + {\left( {t - 2} \right)^2} + {\left( {6 - t} \right)^2} = 2{t^2} - 16t + 104\) và \(\overrightarrow {MI} = \left( {4;0;0} \right)\)
Để đảm bảo an toàn, khoảng cách từ tâm \(I\) đến đường thẳng \(MN\)phải lớn hơn hoặc bằng bán kính \(R\):
\(d\left( {I,MN} \right) \ge R \Leftrightarrow \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MI} ,\overrightarrow {MN} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right|}} \ge 2 \Leftrightarrow \frac{{{0^2} + {{\left( {4t - 24} \right)}^2} + {{\left( {4t - 8} \right)}^2}}}{{2{t^2} - 16t + 104}} \ge {2^2} \Leftrightarrow 3{t^2} - 24t + 28 \ge 0\)
Xét hàm số\(f\left( t \right) = M{N^2} = 2{t^2} - 16t + 104\). Đây là một parabol có đỉnh tại\(t = 4\).
Tuy nhiên, tại \(t = 4\)thì \({3.4^2} - 24.4 + 28 = - 20 < 0\)(không thỏa mãn điều kiện an toàn).
Do đó, giá trị \(MN\)nhỏ nhất sẽ đạt được tại biên của vùng an toàn, tức là khi:
\(3{t^2} - 24t + 28 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{{12 - 2\sqrt {15} }}{3}\left( n \right)}\\{t = \frac{{12 + 2\sqrt {15} }}{3}\left( l \right)}\end{array}} \right.\)
Thay vào biểu thức\(M{N^2}\):

$f\left(\frac{12-2\sqrt{15}}{3}\right)=2{\left(\frac{12-2\sqrt{15}}{3}\right)}^2-16\left(\frac{12-2\sqrt{15}}{3}\right)+104=\frac{256}{3}\Rightarrow MN=\sqrt{\frac{256}{3}}.100\approx \boxed{924}$ km

Đáp án đúng là B