Trong không gian \(Oxyz\) (đơn vị trăm km), một trạm phòng thủ không gian được đặt tại điểm \(M\left( {1;2;3} \right)\). Một trạm vũ trụ quốc tế (ISS) có vùng năng lượng bảo vệ là một khối cầu \(\left( S \right)\) có phương trình:\({\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 4\). Hệ thống radar phát hiện một mảnh rác vũ trụ đang di chuyển theo quỹ đạo là đường thẳng \(\Delta \) có phương trình tham số \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 9}\\{y = t}\\{z = 9 - t}\end{array}} \right.\). Trạm phòng thủ M cần bắn một tia laser (tia thẳng xuất phát từ \(M\)) để phá hủy mảnh rác. Để đảm bảo an toàn tuyệt đối cho ISS, tia laser không được đi xuyên qua phần trong của khối cầu \(\left( S \right)\) (được phép tiếp xúc). Biết năng lượng laser suy giảm theo khoảng cách, trạm cần chọn thời điểm bắn sao cho khoảng cách từ \(M\)đến mảnh rác là ngắn nhất mà vẫn an toàn cho ISS. Khoảng cách ngắn nhất đó bằng bao nhiêu km (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Giai đoạn 1: Từ \(A\) đến \(B\)
Tọa độ: \(A\left( {10;10;10} \right)\) và \[B\left( {34;42;40} \right)\] nên vectơ \(\overrightarrow {AB} = \left( {24;32;30} \right)\).
Độ dài trên trục \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{24}^2} + {{32}^2} + {{30}^2}} = 50\)đơn vị
Khoảng cách thực tế: \({s_1} = 50.0,1 = 5\)km
Thời gian bay đoạn \(AB\): \({t_1} = \frac{5}{{150}} = \frac{1}{{30}}\)(giờ) = 2 phút.
Giai đoạn 2: Từ \(B\) đến \(D\)(trên đường thẳng \(BC\))
Tọa độ\(C\left( {114;42;100} \right)\). Vectơ \(\overrightarrow {BC} = \left( {80;0;60} \right)\).
Khoảng cách thực tế: \(BC = \sqrt {{{80}^2} + {{60}^2}} .0,1 = 10\)(km).
Máy bay bay theo hướng này trong 20 phút thì quãng đường \({s_2} = BD = 150.\frac{1}{3} = 50\)(km).
Vì máy bay bay 50 km theo hướng \(\overrightarrow {BC} \)(trong khi đoạn \(BC\)chỉ dài 10 km), nên máy bay đã bay vượt quá điểm \[C\].
Tọa độ điểm \(D\):\(D = B + 5\left( {C - B} \right) = \left( {34 + 5.80;42 + 5.0;40 + 5.60} \right) = \left( {434;42;340} \right)\).
Giai đoạn 3: Từ \(D\)đến \(E\) (khi gặp gió)
Thời gian: 15 phút = \(\frac{1}{4}\)giờ. Vận tốc: 120 km/h thì quãng đường \(DE = 120.\frac{1}{4} = 30\)(km).
Đổi ra đơn vị trục tọa độ: \(\frac{{30}}{{0,1}} = 300\)đơn vị
Gọi vectơ \(\overrightarrow {DE} = \left( {x;y;z} \right)\). Ta có \({x^2} + {y^2} + {z^2} = {300^2}\,\,\left( 1 \right)\)
Độ dốc: “Cứ đi \(2\sqrt 2 \) km ngang thì lên 1km cao” \( \Rightarrow \frac{z}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }} \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 8{z^2}\,\,\left( 2 \right)\)
Thay \(\left( 2 \right)\)vào\(\left( 1 \right)\): \(8{z^2} + {z^2} = 9000 \Rightarrow 9{z^2} = 90000 \Rightarrow z = 100\)(do máy bay lên)
Suy ra\(\sqrt {{x^2} + {y^2}} = 200\sqrt 2 \). Với góc lệch ${45}^{°}$ so với phương ngang: $\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}x=200\sqrt{2}.\cos {45}^{°}=200\\ y=200\sqrt{2}.\sin {45}^{°}=200\end{array}\right.$
Vậy \(\overrightarrow {DE} = \left( {200;200;100} \right)\)
Tọa độ điểm\(E:\,E = D + \overrightarrow {DE} = \left( {434 + 200;42 + 200;340 + 100} \right) = \left( {634;242;440} \right)\):
Xét mệnh đề a)
Tổng thời gian \(t = {t_{AB}} + {t_{BD}} + {t_{DE}} = 2 + 20 + 15 = 37\) phút nên mệnh đề a) sai
Xét mệnh đề b)
Khi gặp gió lớn (tại điểm\(D\)), độ cao thực tế là\({z_D}.0,1 = 340.0,1 = 34\)km nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
\(E\left( {634;242;440} \right) \Rightarrow a + b + c = 634 + 242 + 440 = 1316\)nên mệnh đề c) sai
Xét mệnh đề d)
Hướng dự kiến \({\vec v_1} = \overrightarrow {BC} = \left( {80;0;60} \right) = 20\left( {4;0;3} \right)\); thực tế: \({\vec v_2} = \overrightarrow {DE} = \left( {20;20;10} \right) = 10\left( {2;2;1} \right)\)
Tính cosin góc \(\varphi \) giữa hai vectơ: \(\cos \varphi = \frac{{\left| {4.2 + 0.2 + 3.1} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {0^2} + {3^2}} .\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{{11}}{{15}}\) nên mệnh đề d) đúng

Không gian mẫu: \(n\left( \Omega \right) = A_9^6 = 60480\)
Gọi 2 đường chéo là \(\left( {{x_1};{x_3};{x_5}} \right)\)và \[\left( {{x_2};{x_4};{x_6}} \right)\]. Để tổng các hàng ngang bằng nhau và các đường chéo là cấp số cộng (CSC), ta có: đường chéo 1 là CSC công sai \(d\) hoặc đường chéo 2 là CSC công sai \( - d\).
Vật ta cần chọn 2 tập con rời nhau, mỗi tập là một CSC gồm 3 phần tử có cùng công sai \(k = \left| d \right|\).
Với \(k = 1\) thì các bộ là\[\left( {1;2;3} \right),\left( {2;3;4} \right),...,\left( {7;8;9} \right)\] nên số cặp rời nhau: \(4 + 3 + 2 + 1 = 10\) cặp.
Với \(k = 2\) thì các bộ là\[\left( {1;3;5} \right),\left( {2;4;6} \right),\left( {3;5;7} \right),\left( {4;6;8} \right),\left( {5;7;9} \right)\]
Số cặp rời nhau: \(2 + 2 + 1 + 1 = 6\) cặp
Với \(k = 3\) thì các bộ là\(\left( {1;4;7} \right),\left( {2;5;8} \right),\left( {3;6;9} \right)\) nên số cặp rời nhau: \(2 + 1 = 3\) cặp
Với \(k \ge 4\) thì không có cặp rời nhau.
Vậy tổng số cặp tập hợp thỏa mãn: \(10 + 6 + 3 = 19\) cặp
Với mỗi cặp tập hợp, có \(2\) cách chọn tập nào cho đường chéo nào và \(2\)cách chọn chiều tăng/giảm của công sai (do\({d_2} = - {d_1}\)).
Số phần tử thuận lợi:\(n\left( A \right) = 19.2.2 = 76\)
Vậy xác suất cần tính là: $P=\frac{76}{60480}=\frac{19}{15120}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=15120\\ b=19\end{array}\Rightarrow K=\boxed{2656}\right.$