Trong không gian \(Oxyz\) (đơn vị trăm km), một trạm phòng thủ không gian được đặt tại điểm \(M\left( {1;2;3} \right)\). Một trạm vũ trụ quốc tế (ISS) có vùng năng lượng bảo vệ là một khối cầu \(\left( S \right)\) có phương trình:\({\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 4\). Hệ thống radar phát hiện một mảnh rác vũ trụ đang di chuyển theo quỹ đạo là đường thẳng \(\Delta \) có phương trình tham số \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 9}\\{y = t}\\{z = 9 - t}\end{array}} \right.\). Trạm phòng thủ M cần bắn một tia laser (tia thẳng xuất phát từ \(M\)) để phá hủy mảnh rác. Để đảm bảo an toàn tuyệt đối cho ISS, tia laser không được đi xuyên qua phần trong của khối cầu \(\left( S \right)\) (được phép tiếp xúc). Biết năng lượng laser suy giảm theo khoảng cách, trạm cần chọn thời điểm bắn sao cho khoảng cách từ \(M\)đến mảnh rác là ngắn nhất mà vẫn an toàn cho ISS. Khoảng cách ngắn nhất đó bằng bao nhiêu km (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Từ dữ kiện đề bài, ta xác định được: trạm phòng thủ có tọa độ \(M\left( {1;2;3} \right)\).
Vùng năng lượng bảo vệ (khối cầu\(S\)): có tâm \(I\left( {5;2;3} \right)\) và bán kính\(R = \sqrt 4 = 2\).
Mảnh rác vũ trụ \(N\)thuộc đường thẳng \(\Delta \) nên tọa độ của \(N\)theo tham số \(t\)là: \[N\left( {9;t;9 - t} \right)\]
Khoảng cách \(MN\)và điều kiện để tia laser không xuyên qua khối cầu.
Vectơ \(\overrightarrow {MN} = \left( {8;t - 2;6 - t} \right) \Rightarrow M{N^2} = {8^2} + {\left( {t - 2} \right)^2} + {\left( {6 - t} \right)^2} = 2{t^2} - 16t + 104\) và \(\overrightarrow {MI} = \left( {4;0;0} \right)\)
Để đảm bảo an toàn, khoảng cách từ tâm \(I\) đến đường thẳng \(MN\)phải lớn hơn hoặc bằng bán kính \(R\):
\(d\left( {I,MN} \right) \ge R \Leftrightarrow \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MI} ,\overrightarrow {MN} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right|}} \ge 2 \Leftrightarrow \frac{{{0^2} + {{\left( {4t - 24} \right)}^2} + {{\left( {4t - 8} \right)}^2}}}{{2{t^2} - 16t + 104}} \ge {2^2} \Leftrightarrow 3{t^2} - 24t + 28 \ge 0\)
Xét hàm số\(f\left( t \right) = M{N^2} = 2{t^2} - 16t + 104\). Đây là một parabol có đỉnh tại\(t = 4\).
Tuy nhiên, tại \(t = 4\)thì \({3.4^2} - 24.4 + 28 = - 20 < 0\)(không thỏa mãn điều kiện an toàn).
Do đó, giá trị \(MN\)nhỏ nhất sẽ đạt được tại biên của vùng an toàn, tức là khi:
\(3{t^2} - 24t + 28 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{{12 - 2\sqrt {15} }}{3}\left( n \right)}\\{t = \frac{{12 + 2\sqrt {15} }}{3}\left( l \right)}\end{array}} \right.\)
Thay vào biểu thức\(M{N^2}\):

$f\left(\frac{12-2\sqrt{15}}{3}\right)=2{\left(\frac{12-2\sqrt{15}}{3}\right)}^2-16\left(\frac{12-2\sqrt{15}}{3}\right)+104=\frac{256}{3}\Rightarrow MN=\sqrt{\frac{256}{3}}.100\approx \boxed{924}$ km