Một vật chuyển động thẳng: Trong 3 giây đầu tiên, vật chuyển động nhanh dần đều với vận tốc \(v\left( t \right) = at\)(m/s) với \(a\) dương và \(0 \le 3 \le t\). Kể từ thời điểm \(t = 3\)giây, vật gặp chướng ngại vật nên bắt đầu chuyển động chậm dần với vận tốc \(v\left( t \right) = - 3t + b\)(m/s), với \(t \ge 3\). Biết vận tốc của vật liên tục tại thời điểm \(t = 3\) và quãng đường vật đi được trong giai đoạn chuyển động chậm dần lớn hơn quãng đường đi được trong \(3\) giây đầu tiên là \(6\) m.

Vận tốc liên tục tại thời điểm \(t = 3\), nghĩa là: \[{v_1}\left( 3 \right) = {v_2}\left( 3 \right) \Leftrightarrow a.3 =  - 3.3 + b \Rightarrow a = \frac{{b - 9}}{3}\,\,\left( 1 \right)\]

Quãng đường đi được trong 3 giây đầu \[\left( {{S_1}} \right)\] là: \({S_1} = \int\limits_0^3 {at{\rm{d}}t}  = \left. {\left( {\frac{1}{2}a{t^2}} \right)} \right|_0^3 = 4,5a\) (m)

Quãng đường đi được trong giai đoạn chậm dần \[\left( {{S_2}} \right)\]:

Vật dừng lại khi \(v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow  - 3t + b = 0 \Leftrightarrow t = \frac{b}{3}\)

Suy ra: \[{S_2} = \int\limits_3^{\frac{b}{3}} {\left( { - 3t + b} \right){\rm{d}}t = \left. {\left( { - \frac{3}{2}{t^2} + bt} \right)} \right|_3^{\frac{b}{3}}}  = \frac{{{{\left( {b - 9} \right)}^2}}}{6}\] (m).

Sử dụng dữ kiện \({S_2} - {S_1} = 6\) nên \(\frac{{{{\left( {b - 9} \right)}^2}}}{6} - 4,5a = 6\).

Thế \(\left( 1 \right)\)vào, ta có: \(\frac{{{{\left( {b - 9} \right)}^2}}}{6} - 4,5\left( {\frac{{b - 9}}{3}} \right) = 6 \Rightarrow b = 21\) suy ra \(a = \frac{{21 - 9}}{3} = 4\).

Xét mệnh đề a)

Dựa vào quá trình giải hệ phương trình ở trên, ta tìm được giá trị \(b = 21\) nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b)

Vật chuyển động nhanh dần đến \(t = 3\) rồi bắt đầu chậm lại, nên vận tốc cực đại đạt được tại \(t = 3\)

\({v_{max}} = v\left( 3 \right) = a.3 = 4.3 = 12\)(m/s) nên mệnh đề b) sai

Xét mệnh đề c)

Thời điểm vật dừng lại: \[{t_1} = \frac{b}{3} = \frac{{21}}{3} = 7\](s).

Quãng đường \({S_1} = 4,5.4 = 18\)(m) và \({S_2} = \frac{{{{\left( {21 - 9} \right)}^2}}}{6} = 24\)(m) nên \(S = 18 + 24 = 42\) (m)

Vận tốc trung bình: \({v_{tb}} = \frac{S}{{{t_1}}} = \frac{{42}}{7} = 6\) (m/s) nên mệnh đề c) đúng

Xét mệnh đề d)

Tại \(t = 7\), vật dừng lại và cách điểm xuất phát \(42\)m.

Giai đoạn lùi về: Vật bắt đầu từ trạng thái nghỉ \[\left( {{v_0} = 0} \right)\], gia tốc \(a' =  - 2\)m/s² (hướng về vị trí cũ)

Quãng đường cần đi để về vị trí cũ là \(42\)m.

Thời gian để đi hết quãng đường này \[\left( {t'} \right)\]: \(S = \frac{1}{2}\left| {a'} \right|{\left( {t'} \right)^2} \Leftrightarrow 42 = \frac{1}{2}.2.{\left( {t'} \right)^2} \Rightarrow t' = \sqrt {42} \)(s)

Tổng thời điểm là \(t = {t_1} + t' = 7 + \sqrt {42}  \approx 13,48\)(s) nên mệnh đề d) sai