Trong một khu vực đô thị, cảnh sát giao thông ghi nhận các trường hợp vi phạm tốc độ trong giờ cao điểm. Thống kê cho thấy:
Tỷ lệ nam giới tham gia giao thông trong giờ cao điểm là \(60{\rm{\% }}\), tỷ lệ nữ giới là \(40{\rm{\% }}\)
Trong số các lái xe nam, tỷ lệ vi phạm tốc độ là \(10{\rm{\% }}\)
Trong số các lái xe nữ, tỷ lệ vi phạm tốc độ là \(3{\rm{\% }}\)

Xét mệnh đề a)

Gọi các biến cố \(N\): “Người lái xe là nam giới”; \(F\): “Người lái xe là nữ giới”

\(T\): “Người lái xe vi phạm tốc độ”

Theo đề bài, ta có: \(P\left( N \right) = 0,6\); \(P\left( F \right) = 0,4\); \(P\left( {T\mid N} \right) = 0,1\); \(P\left( {T\mid F} \right) = 0,03\)

Xác suất một lái xe được chọn ngẫu nhiên trong giờ cao điểm là nam giới và vi phạm tốc độ là \(P\left( {N \cap T} \right)\).

Sử dụng công thức \(P\left( {N \cap T} \right) = P\left( {T\mid N} \right).P\left( N \right) = 0,1.0,6 = 0,06\) nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b)

Xác suất một lái xe được chọn ngẫu nhiên trong giờ cao điểm vi phạm tốc độ là \(P\left( T \right)\).

Sử dụng công thức xác suất toàn phần:.

\(P\left( T \right) = P\left( {T\mid N} \right).P\left( N \right) + P\left( {T\mid F} \right).P\left( F \right) = 0,1.0,6 + 0,03.0,4 = 0,072\)nên mệnh đề b) sai

Xét mệnh đề c)

Xác suất người lái xe là nam giới khi biết người đó vi phạm tốc độ.

Sử dụng công thức Bayes: \(P\left( {N\mid T} \right) = \frac{{P\left( {T\mid N} \right).P\left( N \right)}}{{P\left( T \right)}} = \frac{{0,1.0,6}}{{0,072}} = \frac{{0,06}}{{0,072}} = \frac{{60}}{{72}} = \frac{5}{6}\)

\(P\left( {F\mid T} \right) = \frac{{P\left( {T\mid F} \right).P\left( F \right)}}{{P\left( T \right)}} = \frac{{0,03.0,4}}{{0,072}} = \frac{{0,012}}{{0,072}} = \frac{{12}}{{72}} = \frac{1}{6}\)

Vì \(P\left( {N\mid T} \right) = \frac{5}{6} > \frac{1}{2}\) và \(P\left( {N\mid T} \right) > P\left( {F\mid T} \right)\) nên khả năng người vi phạm tốc độ là nam giới cao hơn. nên mệnh đề c) đúng

Xét mệnh đề d)

Gọi \(D\) là biến cố “người lái xe bị dừng xe”

Theo để bài, người bị dừng xe là những người vi phạm tốc độ nên \(D \equiv T\)

Xác suất người đó là nữ giới khi biết đã bị dừng xe là:

\(P\left( {F\mid D} \right) = P\left( {F\mid T} \right) = \frac{1}{6} \approx 0,167 < 0,2\) nên mệnh đề a) sai