PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
 Cho khối lăng trụ đứng \[ABC.A'B'C'\] có đáy là tam giác đều cạnh bằng \(1\). Biết khoảng cách giữa đường thẳng \[B'C'\] với mặt phẳng \[\left( {A'BC} \right)\] bằng \[\frac{{\sqrt 3 }}{3}\]. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai sau dấu phẩy)

Chọn gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) là trọng tâm tam giác đều \(ABC\)cạnh \(a = 6\) m có \(h = \frac{{6\sqrt 3 }}{2} = 3\sqrt 3 \)m.
Tọa độ các đỉnh:\(A\left( {0;2\sqrt 3 } \right)\), \(B\left( { - 3; - \sqrt 3 } \right)\),\(C\left( {3; - \sqrt 3 } \right)\).
Đường thẳng \(AC\)đi qua \(A\left( {0;2\sqrt 3 } \right)\)và \(C\left( {3; - \sqrt 3 } \right)\) có phương trình:\(y = - \sqrt 3 x + 2\sqrt 3 \).
\(\left( {{P_1}} \right):y = m{x^2} + n\) có trục đối xứng là\(Oy\), đi qua \(B,C\)và tiếp xúc với \(AC\) tại \(C\)

Đồ thị đi qua \(C\left( {3; - \sqrt 3 } \right) \Rightarrow 9m + n = - \sqrt 3 \,\,\left( 1 \right)\)
Theo giả thiết, \(\left( {{P_1}} \right)\) tiếp xúc với \(AC\) tại\(C \Rightarrow {y'_{\left( {{P_1}} \right)}}\left( 3 \right) = {k_{AC}} \Rightarrow 2m.3 = - \sqrt 3 \Rightarrow m = - \frac{{\sqrt 3 }}{6}\)
Thay \(m = - \frac{{\sqrt 3 }}{6}\) vào\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 9\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{6}} \right) + n = - \sqrt 3 \Rightarrow n = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) nên \({\left( P \right)_1}:y = - \frac{{\sqrt 3 }}{6}{x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Phần hoa ở giữa được giới hạn bởi 3 cung parabol đối xứng qua tâm\(O\).
Giao điểm \({I_2}\)của \(\left( {{P_1}} \right)\)và \({\left( P \right)_2}\)nằm trên đường phân giác\(OC:y = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}x\).
Xét phương trình hoành độ giao điểm: \( - \frac{{\sqrt 3 }}{6}{x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2} = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}x \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3\left( l \right)}\\{x = - 1\left( n \right)}\end{array}} \right.\)
Suy ra, giao điểm \({I_1}\left( { - 1;\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)\)và \({I_2}\left( {1;\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)\).
Khoảng cách từ tâm \(O\)đến các giao điểm của các parabol là bằng nhau:
\(O{I_2} = O{I_3} = \sqrt {{1^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \)\[{I_3} \cap OA \equiv Oy \Rightarrow {I_3}\left( {0; - \frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right)\]
Diện tích phần trồng hoa là :
\[{S_{hoa}} = {S_{\Delta {I_1}{I_2}{I_3}}} + 3\int\limits_{ - 1}^1 {\left[ {\left( {{P_1}} \right) - {y_{{I_1}{I_2}}}} \right]} {\rm{d}}x = \frac{1}{2}2\left[ {\frac{{\sqrt 3 }}{3} - \left( { - \frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right)} \right]{\rm{d}}x - 3\int\limits_{ - 1}^1 {\left[ {\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{6}{x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) - \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right]} {\rm{d}}x = \frac{{5\sqrt 3 }}{3}\]
\[{S_{co}} = 3.{S_{\left( {{P_1}} \right) \cap \left( {{P_2}} \right)}} - {S_{hoa}} = 3.2\int\limits_{ - 1}^3 {\left[ {\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{6}{x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) - \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{3}x} \right)} \right]} {\rm{d}}x - \frac{{5\sqrt 3 }}{3} = \frac{{17\sqrt 3 }}{3}\](m2)
Vậy tổng diện tích cần tính là: $S=S_{hoa}+S_{co}=\frac{5\sqrt{3}}{3}+\frac{17\sqrt{3}}{3}=\frac{22\sqrt{3}}{3}\approx \boxed{\mathrm{12,7}}$

Vận tốc liên tục tại thời điểm \(t = 3\), nghĩa là: \[{v_1}\left( 3 \right) = {v_2}\left( 3 \right) \Leftrightarrow a.3 =  - 3.3 + b \Rightarrow a = \frac{{b - 9}}{3}\,\,\left( 1 \right)\]

Quãng đường đi được trong 3 giây đầu \[\left( {{S_1}} \right)\] là: \({S_1} = \int\limits_0^3 {at{\rm{d}}t}  = \left. {\left( {\frac{1}{2}a{t^2}} \right)} \right|_0^3 = 4,5a\) (m)

Quãng đường đi được trong giai đoạn chậm dần \[\left( {{S_2}} \right)\]:

Vật dừng lại khi \(v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow  - 3t + b = 0 \Leftrightarrow t = \frac{b}{3}\)

Suy ra: \[{S_2} = \int\limits_3^{\frac{b}{3}} {\left( { - 3t + b} \right){\rm{d}}t = \left. {\left( { - \frac{3}{2}{t^2} + bt} \right)} \right|_3^{\frac{b}{3}}}  = \frac{{{{\left( {b - 9} \right)}^2}}}{6}\] (m).

Sử dụng dữ kiện \({S_2} - {S_1} = 6\) nên \(\frac{{{{\left( {b - 9} \right)}^2}}}{6} - 4,5a = 6\).

Thế \(\left( 1 \right)\)vào, ta có: \(\frac{{{{\left( {b - 9} \right)}^2}}}{6} - 4,5\left( {\frac{{b - 9}}{3}} \right) = 6 \Rightarrow b = 21\) suy ra \(a = \frac{{21 - 9}}{3} = 4\).

Xét mệnh đề a)

Dựa vào quá trình giải hệ phương trình ở trên, ta tìm được giá trị \(b = 21\) nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b)

Vật chuyển động nhanh dần đến \(t = 3\) rồi bắt đầu chậm lại, nên vận tốc cực đại đạt được tại \(t = 3\)

\({v_{max}} = v\left( 3 \right) = a.3 = 4.3 = 12\)(m/s) nên mệnh đề b) sai

Xét mệnh đề c)

Thời điểm vật dừng lại: \[{t_1} = \frac{b}{3} = \frac{{21}}{3} = 7\](s).

Quãng đường \({S_1} = 4,5.4 = 18\)(m) và \({S_2} = \frac{{{{\left( {21 - 9} \right)}^2}}}{6} = 24\)(m) nên \(S = 18 + 24 = 42\) (m)

Vận tốc trung bình: \({v_{tb}} = \frac{S}{{{t_1}}} = \frac{{42}}{7} = 6\) (m/s) nên mệnh đề c) đúng

Xét mệnh đề d)

Tại \(t = 7\), vật dừng lại và cách điểm xuất phát \(42\)m.

Giai đoạn lùi về: Vật bắt đầu từ trạng thái nghỉ \[\left( {{v_0} = 0} \right)\], gia tốc \(a' =  - 2\)m/s² (hướng về vị trí cũ)

Quãng đường cần đi để về vị trí cũ là \(42\)m.

Thời gian để đi hết quãng đường này \[\left( {t'} \right)\]: \(S = \frac{1}{2}\left| {a'} \right|{\left( {t'} \right)^2} \Leftrightarrow 42 = \frac{1}{2}.2.{\left( {t'} \right)^2} \Rightarrow t' = \sqrt {42} \)(s)

Tổng thời điểm là \(t = {t_1} + t' = 7 + \sqrt {42}  \approx 13,48\)(s) nên mệnh đề d) sai