Một hệ thống ống dẫn nước bằng gang được ngàm vào tường kính và mô phỏng trong không gian \(Oxyz\) (đơn vị: dm) với mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) là mặt tường. Biết đoạn ống \(OA\) nằm trên tia \(Oy\) với \(OA = 10\). Đoạn \(AB\) nối tiếp với \(OA\) có độ dài bằng \(6\)và vuông góc với \(OA\). Ống \(AB\) hướng xuống dưới tạo với mặt phẳng ngang \(\left( {Oxy} \right)\) một góc \(60^\circ \) và điểm \(B\) có hoành độ dương. Để kiểm tra độ chính xác của hệ thống sau khi lắp đặt, một kỹ sư sử dụng máy rọi laser. Tia laser phát ra từ điểm \(A\), chiếu tới một điểm \(M\) trên vách kính \(\left( {Oxz} \right)\) và phản xạ toàn phần đi trúng vào điểm \(B\). Biết rằng theo nguyên lý quang học, đường đi của tia sáng \(A \to M \to B\) là quãng đường ngắn nhất. Hãy tính khoảng cách từ \(O\) đến điểm phản xạ \(M\) theo đơn vị dm.

Ta có \(AB' \cap A'B = I\) là trung điểm của mỗi đường.

Khi đó \(d\left( {B'C',\left( {A'BC} \right)} \right) = d\left( {B',\left( {A'BC} \right)} \right) = \frac{{B'I}}{{AI}}d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right)\).

Kẻ \(AH \bot BC\) (\(H\) là trung điểm của \(BC\)) suy ra:

\(BC \bot \left( {A'AH} \right) \Rightarrow \left( {A'BC} \right) \bot \left( {A'AH} \right),\left( {A'BC} \right) \cap \left( {A'AH} \right) = A'H\).

Kẻ \(AK \bot A'H \Rightarrow AK \bot \left( {A'AB} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {A'AB} \right)} \right) = AK = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Ta lại có \(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}} + \frac{1}{{A{{A'}^2}}} \Rightarrow AA' = \frac{{\sqrt {15} }}{5}\).

Vậy thể tích của lăng trụ là $V=A{A}^{\text{'}}.S_{ABC}=\frac{\sqrt{15}}{5}\mathrm{.1.}\frac{\sqrt{3}}{4}{.1}^2=\frac{3\sqrt{5}}{20}\approx \boxed{\mathrm{0,34}}$.

Chọn gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) là trọng tâm tam giác đều \(ABC\)cạnh \(a = 6\) m có \(h = \frac{{6\sqrt 3 }}{2} = 3\sqrt 3 \)m.
Tọa độ các đỉnh:\(A\left( {0;2\sqrt 3 } \right)\), \(B\left( { - 3; - \sqrt 3 } \right)\),\(C\left( {3; - \sqrt 3 } \right)\).
Đường thẳng \(AC\)đi qua \(A\left( {0;2\sqrt 3 } \right)\)và \(C\left( {3; - \sqrt 3 } \right)\) có phương trình:\(y = - \sqrt 3 x + 2\sqrt 3 \).
\(\left( {{P_1}} \right):y = m{x^2} + n\) có trục đối xứng là\(Oy\), đi qua \(B,C\)và tiếp xúc với \(AC\) tại \(C\)

Đồ thị đi qua \(C\left( {3; - \sqrt 3 } \right) \Rightarrow 9m + n = - \sqrt 3 \,\,\left( 1 \right)\)
Theo giả thiết, \(\left( {{P_1}} \right)\) tiếp xúc với \(AC\) tại\(C \Rightarrow {y'_{\left( {{P_1}} \right)}}\left( 3 \right) = {k_{AC}} \Rightarrow 2m.3 = - \sqrt 3 \Rightarrow m = - \frac{{\sqrt 3 }}{6}\)
Thay \(m = - \frac{{\sqrt 3 }}{6}\) vào\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 9\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{6}} \right) + n = - \sqrt 3 \Rightarrow n = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) nên \({\left( P \right)_1}:y = - \frac{{\sqrt 3 }}{6}{x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Phần hoa ở giữa được giới hạn bởi 3 cung parabol đối xứng qua tâm\(O\).
Giao điểm \({I_2}\)của \(\left( {{P_1}} \right)\)và \({\left( P \right)_2}\)nằm trên đường phân giác\(OC:y = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}x\).
Xét phương trình hoành độ giao điểm: \( - \frac{{\sqrt 3 }}{6}{x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2} = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}x \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3\left( l \right)}\\{x = - 1\left( n \right)}\end{array}} \right.\)
Suy ra, giao điểm \({I_1}\left( { - 1;\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)\)và \({I_2}\left( {1;\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)\).
Khoảng cách từ tâm \(O\)đến các giao điểm của các parabol là bằng nhau:
\(O{I_2} = O{I_3} = \sqrt {{1^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \)\[{I_3} \cap OA \equiv Oy \Rightarrow {I_3}\left( {0; - \frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right)\]
Diện tích phần trồng hoa là :
\[{S_{hoa}} = {S_{\Delta {I_1}{I_2}{I_3}}} + 3\int\limits_{ - 1}^1 {\left[ {\left( {{P_1}} \right) - {y_{{I_1}{I_2}}}} \right]} {\rm{d}}x = \frac{1}{2}2\left[ {\frac{{\sqrt 3 }}{3} - \left( { - \frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right)} \right]{\rm{d}}x - 3\int\limits_{ - 1}^1 {\left[ {\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{6}{x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) - \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right]} {\rm{d}}x = \frac{{5\sqrt 3 }}{3}\]
\[{S_{co}} = 3.{S_{\left( {{P_1}} \right) \cap \left( {{P_2}} \right)}} - {S_{hoa}} = 3.2\int\limits_{ - 1}^3 {\left[ {\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{6}{x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) - \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{3}x} \right)} \right]} {\rm{d}}x - \frac{{5\sqrt 3 }}{3} = \frac{{17\sqrt 3 }}{3}\](m2)
Vậy tổng diện tích cần tính là: $S=S_{hoa}+S_{co}=\frac{5\sqrt{3}}{3}+\frac{17\sqrt{3}}{3}=\frac{22\sqrt{3}}{3}\approx \boxed{\mathrm{12,7}}$