Một hệ thống ống dẫn nước bằng gang được ngàm vào tường kính và mô phỏng trong không gian \(Oxyz\) (đơn vị: dm) với mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) là mặt tường. Biết đoạn ống \(OA\) nằm trên tia \(Oy\) với \(OA = 10\). Đoạn \(AB\) nối tiếp với \(OA\) có độ dài bằng \(6\)và vuông góc với \(OA\). Ống \(AB\) hướng xuống dưới tạo với mặt phẳng ngang \(\left( {Oxy} \right)\) một góc \(60^\circ \) và điểm \(B\) có hoành độ dương. Để kiểm tra độ chính xác của hệ thống sau khi lắp đặt, một kỹ sư sử dụng máy rọi laser. Tia laser phát ra từ điểm \(A\), chiếu tới một điểm \(M\) trên vách kính \(\left( {Oxz} \right)\) và phản xạ toàn phần đi trúng vào điểm \(B\). Biết rằng theo nguyên lý quang học, đường đi của tia sáng \(A \to M \to B\) là quãng đường ngắn nhất. Hãy tính khoảng cách từ \(O\) đến điểm phản xạ \(M\) theo đơn vị dm.

Ta có \(AB' \cap A'B = I\) là trung điểm của mỗi đường.

Khi đó \(d\left( {B'C',\left( {A'BC} \right)} \right) = d\left( {B',\left( {A'BC} \right)} \right) = \frac{{B'I}}{{AI}}d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right)\).

Kẻ \(AH \bot BC\) (\(H\) là trung điểm của \(BC\)) suy ra:

\(BC \bot \left( {A'AH} \right) \Rightarrow \left( {A'BC} \right) \bot \left( {A'AH} \right),\left( {A'BC} \right) \cap \left( {A'AH} \right) = A'H\).

Kẻ \(AK \bot A'H \Rightarrow AK \bot \left( {A'AB} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {A'AB} \right)} \right) = AK = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Ta lại có \(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}} + \frac{1}{{A{{A'}^2}}} \Rightarrow AA' = \frac{{\sqrt {15} }}{5}\).

Vậy thể tích của lăng trụ là $V=A{A}^{\text{'}}.S_{ABC}=\frac{\sqrt{15}}{5}\mathrm{.1.}\frac{\sqrt{3}}{4}{.1}^2=\frac{3\sqrt{5}}{20}\approx \boxed{\mathrm{0,34}}$.

Gọi \[q\]( triệu đồng) là số tiền hàng tháng anh Bình phải trả.
Cuối tháng thứ nhất, sau khi anh Bình trả số tiền \[q\]( triệu đồng) thì số tiền anh còn nợ là:
\[{T_1} = 200\left( {1 + \frac{{0,75}}{{100}}} \right) - q\].
Cuối tháng thứ hai, sau khi anh Bình trả số tiền \[q\]( triệu đồng) thì số tiền anh còn nợ là:
\[{T_2} = 200{\left( {1 + \frac{{0,75}}{{100}}} \right)^2} - q\left( {1 + \frac{{0,75}}{{100}}} \right) - q\].
Cuối tháng thứ ba, sau khi anh Bình trả số tiền \[q\]( triệu đồng) thì số tiền anh còn nợ là:
\[{T_3} = 200{\left( {1 + \frac{{0,75}}{{100}}} \right)^3} - q{\left( {1 + \frac{{0,75}}{{100}}} \right)^2} - q\left( {1 + \frac{{0,75}}{{100}}} \right) - q = 200{\left( {1 + \frac{{0,75}}{{100}}} \right)^3} - \frac{{q\left[ {{{\left( {1 + \frac{{0,75}}{{100}}} \right)}^3} - 1} \right]}}{{\frac{{0,75}}{{100}}}}\].
Cuối tháng thứ \[N\], sau khi anh Bình trả số tiền \[q\]( triệu đồng) thì số tiền anh còn nợ là:
\[{T_N} = 200{\left( {1 + \frac{{0,75}}{{100}}} \right)^N} - q{\left( {1 + \frac{{0,75}}{{100}}} \right)^{N - 1}} - q{\left( {1 + \frac{{0,75}}{{100}}} \right)^{N - 2}} - ... - q\].
\[ = 200{\left( {1 + \frac{{0,75}}{{100}}} \right)^N} - \frac{{q\left[ {{{\left( {1 + \frac{{0,75}}{{100}}} \right)}^N} - 1} \right]}}{{\frac{{0,75}}{{100}}}}\]
Đúng hai năm hết nợ, tức là ta có
\[{T_{24}} = 0 \Leftrightarrow 200{\left( {1 + \frac{{0,75}}{{100}}} \right)^{24}} = \frac{{q\left[ {{{\left( {1 + \frac{{0,75}}{{100}}} \right)}^{24}} - 1} \right]}}{{\frac{{0,75}}{{100}}}} \Leftrightarrow q = 9,137\] (triệu đồng)