Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số khác 0 thỏa mãn: \( - a + 2b + 2c \ne 0;\)\(2a - b + 2c \ne 0;\)\(2a + 2b - c \ne 0\)và \(\frac{a}{{ - a + 2b + 2c}} = \frac{b}{{2a - b + 2c}} = \frac{c}{{2a + 2b - c}}\).

Tính giá trị của biểu thức: \(P = \left( {1 + \frac{b}{a}} \right)\left( {1 + \frac{a}{c}} \right)\left( {1 + \frac{c}{b}} \right)\).

a) Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta ACH\)có:

 (gt); \[AB = AC\] (gt); \[AH\] chung

Do đó: \(\Delta ABH = \Delta ACH\) (c.c.c)

Suy ra \(\widehat {BAH} = \widehat {CAH}\) (hai góc tương tứng) hay \(AH\) là tia phân giác \(\widehat {BAC}\).

b) Vì \[HD{\rm{//}}AC\] nên \(\widehat {DHA} = \widehat {CAH}\) (cặp góc so le trong)

Mà \(\widehat {BAH} = \widehat {CAH}\)\[HB = HC\]

\( \Rightarrow \widehat {DHA} = \widehat {BAH} = \widehat {DAH}\), suy ra \(\Delta ADH\) là tam giác cân tại D.

c) Trên tia đối tia \(HD\) lấy điểm \(E\) sao cho \(HE = HD\)

Xét \(\Delta CHE\) và \(\Delta BHD\)có:

\[HB = HC\] (gt)

\(\widehat {CHE} = \widehat {BHD}\) (đối đỉnh)

\[EH = DH\] (cách dựng)

Do đó \(\Delta CHE = \Delta BHD\) (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {ECH} = \widehat {DBH}\) (hai góc tương ứng, \(CE\,{\rm{//}}\,BD\))

Mà hai góc nằm ở vị trí so le trong nên hay \(CE\,{\rm{//}}\,AD\)

Xét \(\Delta CDE\) và \(\Delta DCA\) có:

\[\widehat {ACD} = \widehat {EDC}\] (2 góc so le trong, do \[HD\,{\rm{//}}\,AC\])

\(CD\) chung

\[\widehat {ECD} = \widehat {ADC}\] (2 góc so le trong, do \(CE\,{\rm{//}}\,AD\))

Do đó: \(\Delta CDE = \Delta DCA\) (g.c.g)

Suy ra \(AC = DE\) (hai cạnh tương ứng)

Ta có \(HD = \frac{1}{2}ED = \frac{1}{2}AC\,;\,\,HC = \frac{1}{2}CB\).

Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho \(\Delta CDH\) ta có:

\(CD < HD + HC < \frac{1}{2}AC + \frac{1}{2}BC < \frac{{AC + BC}}{2}\) (đpcm)

Đáp án đúng là: D

\(\frac{x}{8} = \frac{{27}}{6}\) suy ra \(x = \frac{{8.27}}{6} = 36\).