Cho tam giác \[MNP\]có \[\widehat M = 50^\circ \,;\,\,\widehat N = 60^\circ \]. Cạnh có độ dài lớn nhất trong ba cạnh của tam giác \[MNP\] là

a) Gọi vận tốc của xe tải, xe khách và xe ô tô con lần lượt là: \(x,\,y,\,z\) \(\left( {{\rm{km/h}}} \right)\)\(\left( {x,\,y,\,z > 0} \right)\)

Vì trên cùng một quãng đường nên vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, nên ta có:

\[4x = 3y = 2z \Rightarrow \frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{6}\]

Lại có: vận tốc xe con lớn hơn xe khách \(20\,{\rm{km/h}}\), nên ta có: \[z - y = 20\]

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: \(\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{6} = \frac{{z - y}}{{6 - 4}} = \frac{{20}}{2} = 10\)

Do đó:

\[\frac{x}{3} = 10 \Rightarrow x = 10.3 = 30\]

\[\frac{y}{4} = 10 \Rightarrow y = 10.4 = 40\]

\[\frac{z}{6} = 10 \Rightarrow z = 10.6 = 60\]

Suy ra \[x = 30\,;\,\,y = 40\,;\,\,z = 60\] (TMĐK)

Vậy vận tốc của xe tải, xe khách và xe con lần lượt là \(30\,\,{\rm{km/h}}\,;\,\,40\,\,{\rm{km/h}}\,;\,\,{\rm{60}}\,\,{\rm{km/h}}{\rm{.}}\)

b) Quãng đường AB dài là: \(30.4 = 120\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\).

a) Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta ACH\)có:

 (gt); \[AB = AC\] (gt); \[AH\] chung

Do đó: \(\Delta ABH = \Delta ACH\) (c.c.c)

Suy ra \(\widehat {BAH} = \widehat {CAH}\) (hai góc tương tứng) hay \(AH\) là tia phân giác \(\widehat {BAC}\).

b) Vì \[HD{\rm{//}}AC\] nên \(\widehat {DHA} = \widehat {CAH}\) (cặp góc so le trong)

Mà \(\widehat {BAH} = \widehat {CAH}\)\[HB = HC\]

\( \Rightarrow \widehat {DHA} = \widehat {BAH} = \widehat {DAH}\), suy ra \(\Delta ADH\) là tam giác cân tại D.

c) Trên tia đối tia \(HD\) lấy điểm \(E\) sao cho \(HE = HD\)

Xét \(\Delta CHE\) và \(\Delta BHD\)có:

\[HB = HC\] (gt)

\(\widehat {CHE} = \widehat {BHD}\) (đối đỉnh)

\[EH = DH\] (cách dựng)

Do đó \(\Delta CHE = \Delta BHD\) (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {ECH} = \widehat {DBH}\) (hai góc tương ứng, \(CE\,{\rm{//}}\,BD\))

Mà hai góc nằm ở vị trí so le trong nên hay \(CE\,{\rm{//}}\,AD\)

Xét \(\Delta CDE\) và \(\Delta DCA\) có:

\[\widehat {ACD} = \widehat {EDC}\] (2 góc so le trong, do \[HD\,{\rm{//}}\,AC\])

\(CD\) chung

\[\widehat {ECD} = \widehat {ADC}\] (2 góc so le trong, do \(CE\,{\rm{//}}\,AD\))

Do đó: \(\Delta CDE = \Delta DCA\) (g.c.g)

Suy ra \(AC = DE\) (hai cạnh tương ứng)

Ta có \(HD = \frac{1}{2}ED = \frac{1}{2}AC\,;\,\,HC = \frac{1}{2}CB\).

Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho \(\Delta CDH\) ta có:

\(CD < HD + HC < \frac{1}{2}AC + \frac{1}{2}BC < \frac{{AC + BC}}{2}\) (đpcm)