Số kẹo của Hùng và Dũng lần lượt tỉ lệ với \(4\) và \(7\) , biết Hùng có ít hơn Dũng \(12\) cái kẹo. Hỏi Dũng có bao nhiêu cái kẹo?

Với \(a,b,c\) là các số khác 0 thỏa mãn \( - a + 2b + 2c \ne 0;\)\(2a - b + 2c \ne 0;\)\(2a + 2b - c \ne 0\), ta có:

\(\frac{a}{{ - a + 2b + 2c}} = \frac{b}{{2a - b + 2c}} = \frac{c}{{2a + 2b - c}}\)

\(\frac{{ - a + 2b + 2c}}{a} = \frac{{2a - b + 2c}}{b} = \frac{{2a + 2b - c}}{c}\)

\(\frac{{ - a + 2b + 2c}}{a} + 3 = \frac{{2a - b + 2c}}{b} + 3 = \frac{{2a + 2b - c}}{c} + 3\)

\(\frac{{2a + 2b + 2c}}{a} = \frac{{2a + 2b + 2c}}{b} = \frac{{2a + 2b + 2c}}{c}\)

\(\frac{{a + b + c}}{a} = \frac{{a + b + c}}{b} = \frac{{a + b + c}}{c}\)                                           \[\left( 1 \right)\]

• Nếu \(a + b + c \ne 0\), từ (1) suy ra \(a = b = c\)

Khi đó: \(P = \left( {1 + \frac{b}{a}} \right)\left( {1 + \frac{a}{c}} \right)\left( {1 + \frac{c}{b}} \right)\)

 \( = \left( {1 + \frac{a}{a}} \right)\left( {1 + \frac{c}{c}} \right)\left( {1 + \frac{b}{b}} \right)\)

   \( = \left( {1 + 1} \right)\left( {1 + 1} \right)\left( {1 + 1} \right) = 8\)

• Nếu \(a + b + c = 0\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = - c\\b + c = - a\\a + c = - b\end{array} \right.\)

Khi đó: \(P = \left( {1 + \frac{b}{a}} \right)\left( {1 + \frac{a}{c}} \right)\left( {1 + \frac{c}{b}} \right)\)

\( = \frac{{a + b}}{a} \cdot \frac{{c + a}}{c} \cdot \frac{{b + c}}{b}\)

\( = \frac{{ - c}}{a} \cdot \frac{{ - b}}{c} \cdot \frac{{ - a}}{b} = - 1\)

Vậy $P=\left\{\begin{array}{l}8\text{ khi }a+b+c\ne 0\\ -1\text{ khi }a+b+c=0\end{array}\right.$

a) Gọi vận tốc của xe tải, xe khách và xe ô tô con lần lượt là: \(x,\,y,\,z\) \(\left( {{\rm{km/h}}} \right)\)\(\left( {x,\,y,\,z > 0} \right)\)

Vì trên cùng một quãng đường nên vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, nên ta có:

\[4x = 3y = 2z \Rightarrow \frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{6}\]

Lại có: vận tốc xe con lớn hơn xe khách \(20\,{\rm{km/h}}\), nên ta có: \[z - y = 20\]

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: \(\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{6} = \frac{{z - y}}{{6 - 4}} = \frac{{20}}{2} = 10\)

Do đó:

\[\frac{x}{3} = 10 \Rightarrow x = 10.3 = 30\]

\[\frac{y}{4} = 10 \Rightarrow y = 10.4 = 40\]

\[\frac{z}{6} = 10 \Rightarrow z = 10.6 = 60\]

Suy ra \[x = 30\,;\,\,y = 40\,;\,\,z = 60\] (TMĐK)

Vậy vận tốc của xe tải, xe khách và xe con lần lượt là \(30\,\,{\rm{km/h}}\,;\,\,40\,\,{\rm{km/h}}\,;\,\,{\rm{60}}\,\,{\rm{km/h}}{\rm{.}}\)

b) Quãng đường AB dài là: \(30.4 = 120\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\).