Cho bát giác đều \[ABCDEGHK\] có tâm \[O.\]

 

Khi đó:

Đáp án đúng là: a) Đúng.  b) Đúng.        c) Đúng.          d) Đúng.

a) Đúng.

Tổng 6 góc của lục giác đều \[ABCDEF\]bằng tổng các góc trong hai tứ giác \[ABCD\] và \[AFED.\]

Suy ra tổng 6 góc của lục giác đều \[ABCDEF\] bằng \[2 \cdot 360^\circ = 720^\circ .\]

Do tất cả các góc của lục giác đều bằng nhau nên số đo mỗi góc của lục giác đều bằng \[\frac{{720^\circ }}{6} = 120^\circ \] hay \[\widehat {AFM} = \widehat {BCD} = 120^\circ .\]

Vì \[CB = CD\] (chứng minh trên) nên tam giác \[BCD\] cân tại \[C.\]

Do đó \[CO\] vừa là đường trung tuyến, vừa là đường phân giác của tam giác \[BCD\].

Vì vậy \[\widehat {OCB} = \frac{{\widehat {BCD}}}{2} = \frac{{120^\circ }}{2} = 60^\circ .\]

Ta có \[OB = OC\] (vì \[O\] là tâm của lục giác đều \[ABCDEF\]).

Suy ra tam giác \[OBC\] cân tại \[O\].

Mà \[\widehat {OCB} = 60^\circ \] (chứng minh trên). Do đó tam giác \[OBC\] đều.

b) Đúng.

Chứng minh tương tự cho các tam giác \[OCD,{\rm{ }}OAB,{\rm{ }}OAF,\,\,ODE,\,\,OEF,\] ta được \[\Delta OCD,{\rm{ }}\Delta OAB,\] \[\Delta OAF,{\rm{ }}\Delta ODE,\,\,\Delta OEF\] là các tam giác đều.

Ta có tam giác \[OBC\] đều nên \[OB = BC = OC,\] mà \[OB = OC = OD\] và \[BC = CD\] nên \[OB = BC = CD = OD.\] Suy ra tứ giác \[OBCD\] là hình thoi.

Do đó hai đường chéo \[OC\] và \[BD\] vuông góc với nhau tại trung điểm \[N\] của mỗi đường.

Vậy N là trung điểm \[OC.\]

c) Đúng.

Ta có \[\widehat {AOB} = \widehat {BOC} = 60^\circ \] (vì các tam giác \[OAB,{\rm{ }}OBC\] đều).

Suy ra \[\widehat {AOC} = \widehat {AOB} + \widehat {BOC} = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ .\]

Ta có \[EF = OC\] (cùng bằng OF) và \[M,{\rm{ }}N\] lần lượt là trung điểm \[EF,{\rm{ }}OC\] nên \[FM = ON.\]

Xét \[\Delta AFM\] và \[\Delta AON\] có:

\[\widehat {AFM} = \widehat {AON} = 120^\circ \,;\]

\[AF = AO\] (tam giác \[OAF\] đều);

\[FM = ON\] (chứng minh trên).

Do đó \[\Delta AFM = \Delta AON{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{\rm{.g}}{\rm{.c}}} \right){\rm{.}}\]

d) Đúng.

Từ kết quả câu c), ta được \[AM = AN\] và \[\widehat {FAM} = \widehat {OAN}\,.\]

Suy ra \[\Delta AMN\] cân tại \[A.\]

Ta có \[\widehat {FAO} = 60^\circ \] (do \[\Delta OAF\] đều).

Suy ra \[\widehat {FAM} + \widehat {MAO} = 60^\circ \] nên \[\widehat {OAN} + \widehat {MAO} = 60^\circ \] hay \[\widehat {MAN} = 60^\circ .\]

Xét \[\Delta AMN\] cân tại \[A\] có \[\widehat {MAN} = 60^\circ \] nên \[\Delta AMN\] đều.

Đáp án: 168

Số đo mỗi góc của ngũ giác đều là \[\frac{{\left( {5 - 2} \right) \cdot 180^\circ }}{5} = 108^\circ \].

Vì \[\Delta DPE\] đều nên có \[\widehat {EDP} = \widehat {DEP} = 60^\circ \]

Ta có: \[\widehat {AEP} = \widehat {CDP} = 108^\circ - 60^\circ = 48^\circ \].

Vì \[ABCDE\] là ngũ giác đều và \[\Delta DPE\] đều suy ra \[AE = ED = EP = PD = DC\].

Do đó, \[\Delta AEP\] và \[\Delta CDP\] cân nên \[APE = CPD = \left( {180^\circ - 48^\circ } \right):2 = 66^\circ \].

Vậy \[\widehat {APC} = 360^\circ - 60^\circ - 2 \cdot 66^\circ = 168^\circ \]