Xét sự biến thiên của hàm số \(y = \sqrt {{x^2} - 2x + 2} \) trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta thấy:

\({x^2} - 2x + 2 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 1 > 0\forall x \in \mathbb{R}\) nên hàm số xác định với mọi \(x \in \left( {1; + \infty } \right)\).

Với mọi \({x_1};{x_2} \in \mathbb{R}\) và \({x_1} < {x_2}\) ta có:

\(f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \sqrt {{x_1}^2 - 2{x_1} + 2} - \sqrt {{x_2}^2 - 2{x_2} + 2} \)

\( = \frac{{\left( {{x_1}^2 - 2{x_1} + 2} \right) - \left( {{x_2}^2 - 2{x_2} + 2} \right)}}{{\sqrt {{x_1}^2 - 2{x_1} + 2} + \sqrt {{x_2}^2 - 2{x_2} + 2} }}\)

\( = \frac{{\left( {{x_1}^2 - 2{x_1} + 1} \right) - \left( {{x_2}^2 - 2{x_2} + 1} \right)}}{{\sqrt {{x_1}^2 - 2{x_1} + 2} + \sqrt {{x_2}^2 - 2{x_2} + 2} }}\)

\( = \frac{{{{\left( {{x_1} - 1} \right)}^2} - {{\left( {{x_2} - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt {{x_1}^2 - 2{x_1} + 2} + \sqrt {{x_2}^2 - 2{x_2} + 2} }}\)

\( = \frac{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} + {x_2} - 2} \right)}}{{\sqrt {{x_1}^2 - 2{x_1} + 2} + \sqrt {{x_2}^2 - 2{x_2} + 2} }}\) > 0

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tìm khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số \(y = - 2{x^2} + 3x + 1\).

Xem đáp án

Lời giải

Ta có \(\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{3}{4};\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{17}}{8}\).

Bảng biến thiên

Tìm khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số y=−2x^2+3x+1. (ảnh 1)

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{3}{4}} \right)\)và nghịch biến trên khoảng \(\left( {\frac{3}{4}; + \infty } \right)\).

Câu 2

Tìm khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số \(y = - {x^2} + 5x + 3\).

Xem đáp án

Lời giải

Ta có \(\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{5}{2};\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{37}}{4}\).

Bảng biến thiên

Tìm khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số y=−x^2+5x+3. (ảnh 1)

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{5}{2}} \right)\)và nghịch biến trên khoảng \(\left( {\frac{5}{2}; + \infty } \right)\).

Câu 3