(2 điểm): Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song. Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(SA\).

a) Tìm giao điểm \(P\) của đường thẳng \(SB\) với mặt phẳng \((CDM)\).

b) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Chứng minh rằng các đường thẳng SO, DP và CM đồng quy.

Chiều cao của mực nước \(h\)(m) tại một cảng biển theo thời gian \(t\)(giờ) \(\left( {0 \le t \le 24} \right)\) được cho bởi công thức \(h\left( t \right) = 13 + 3{\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right)\).

a) Chiều cao của mực nước vào thời điểm \(t = 4\) là bao nhiêu mét?

\(h(4) = 13 + 3\cos \left( {\frac{\pi }{{12}}.4} \right) = 14,5\)(mét) (0.25)

b) Dựa vào đồ thị của hàm số côsin (xem hình bên dưới), hãy cho biết vào những thời điểm nào trong ngày thì chiều cao của mực nước trên \(11,5{\rm{\;m}}\).

Do chiều cao của mực nước trên 11,5 m nên \(13 + 3{\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right) > 11,5 \Leftrightarrow {\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right) > - \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\) (0.25)

Do \(0 \le t \le 24 \Leftrightarrow 0 \le \frac{\pi }{{12}}t \le 2\pi \,\,\,\left( 2 \right)\)

Đặt \(x = \frac{\pi }{{12}}t\), từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos x > - \frac{1}{2}\\0 \le x \le 2\pi \end{array} \right.\)

Dựa vào đồ thị hàm số \(y = \cos x\) trên \(\left[ {0;2\pi } \right]\), ta có

\(\left[ \begin{array}{l}0 \le x < \frac{{2\pi }}{3}\\\frac{{4\pi }}{3} < x \le 2\pi \end{array} \right.\,\,(0.25)\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 \le \frac{\pi }{{12}}t < \frac{{2\pi }}{3}\\\frac{{4\pi }}{3} < \frac{\pi }{{12}}t \le 2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 \le t < 8\\16 < t \le 24\end{array} \right.\)

Ứng với các thời điểm \(t \in \left[ {0;8} \right) \cup \left( {16;24} \right]\) (h), thì chiều cao của mực nước tại cảng biển trên 11,5 m. (0.25)

Giải phương trình lượng giác: \(\sin \left( {3x - \frac{{5\pi }}{4}} \right) = \sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)\)

\[\sin \left( {3x - \frac{{5\pi }}{4}} \right) = \sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - \frac{{5\pi }}{4} = 2x + \frac{\pi }{3} + k2\pi \\3x - \frac{{5\pi }}{4} = \pi - \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) + k2\pi \end{array} \right.{\rm{(0}}{\rm{.5)}}\]\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{19\pi }}{{12}} + k2\pi \\x = \frac{{23\pi }}{{60}} + \frac{{k2\pi }}{5}\end{array} \right.{\rm{(0}}{\rm{.5)}}\)