Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 1}\\{{u_{n + 1}} = \frac{{{u_n}}}{{2{u_n} + 1}}}\end{array}} \right.\), với \(n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}},n \ge 1\). Tính giá trị của \(T = \frac{1}{{{u_1}}} + \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_3}}} + \ldots + \frac{1}{{{u_{50}}}}\).
_____
Câu hỏi trong đề: Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2025-2026 Hà Nội (có đáp án) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Nhận xét \({u_n} > 0\) với mọi \(n\). Nghịch đảo hai vế của công thức truy hồi ta được:
\(\frac{1}{{{u_{n + 1}}}} = \frac{{2{u_n} + 1}}{{{u_n}}} = \frac{1}{{{u_n}}} + 2\).
Đặt \({v_n} = \frac{1}{{{u_n}}}\), ta có \({v_1} = \frac{1}{{{u_1}}} = 1\) và \({v_{n + 1}} = {v_n} + 2\).
Suy ra \(\left( {{v_n}} \right)\) là một cấp số cộng có số hạng đầu \({v_1} = 1\) và công sai \(d = 2\).
Số hạng tổng quát của cấp số cộng \(\left( {{v_n}} \right)\) là: \({v_n} = {v_1} + \left( {n - 1} \right)d = 1 + \left( {n - 1} \right)2 = 2n - 1\).
Biểu thức \(T\) chính là tổng của 50 số hạng đầu tiên của cấp số cộng \(\left( {{v_n}} \right)\):
\(T = {S_{50}} = \frac{{50 \cdot \left( {{v_1} + {v_{50}}} \right)}}{2} = 25 \cdot \left( {1 + \left( {2 \cdot 50 - 1} \right)} \right) = 25 \cdot \left( {1 + 99} \right) = 25 \cdot 100 = 2500\).
Đáp số: 2500.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Lời giải
Ta có mối liên hệ giữa \({\rm{tan}}x\) và \({\rm{cot}}x\) khi cả hai cùng xác định là:
\({\rm{tan}}x \cdot {\rm{cot}}x = 1 \Rightarrow {\rm{tan}}x = \frac{1}{{{\rm{cot}}x}} = \frac{1}{2}\).
Chọn C.
Câu 2
Lời giải
Điều kiện xác định: \({\rm{sin}}x \ne 0\) và \({\rm{cos}}x \ne 0\).
Ta biến đổi biểu thức \(M\): \(M = \frac{{{\rm{sin}}2x \cdot {\rm{cos}}x - {\rm{cos}}2x \cdot {\rm{sin}}x}}{{{\rm{sin}}x \cdot {\rm{cos}}x}}\)
Áp dụng công thức cộng \({\rm{sin}}\left( {A - B} \right) = {\rm{sin}}A{\rm{cos}}B - {\rm{cos}}A{\rm{sin}}B\):
\(M = \frac{{{\rm{sin}}\left( {2x - x} \right)}}{{{\rm{sin}}x \cdot {\rm{cos}}x}} = \frac{{{\rm{sin}}x}}{{{\rm{sin}}x \cdot {\rm{cos}}x}} = \frac{1}{{{\rm{cos}}x}}\).
Chọn A.
Câu 3
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập