Một đa giác có chu vi bằng $158\text{\hspace{0.17em}cm}$, độ dài các cạnh của nó lập thành một cấp số cộng. Biết cạnh lớn nhất có độ dài là $44\text{\hspace{0.17em}cm}$. Tìm số cạnh của đa giác đó?

a) Cho \(\sin \alpha  =  - \frac{3}{5}\) và \(\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}\). Tính \(\cos \alpha ;{\rm{ }}\sin 2\alpha \).

Vì \(\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}\) nên \(\cos \alpha  < 0\).

Ta có: \(\cos \alpha  =  - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha }  =  - \sqrt {1 - {{\left( { - \frac{3}{5}} \right)}^2}}  =  - \frac{4}{5}\).

     \(\sin 2\alpha  = 2\sin \alpha \cos \alpha  = 2.\left( { - \frac{4}{5}} \right).\left( { - \frac{3}{5}} \right) = \frac{{24}}{{25}}\)

b) Tìm tập xác định của hàm số \(y = \frac{{\sin x}}{{{\rm{cos2}}x + 1}}\).

Điều kiện xác định: \({\rm{cos2}}x + 1 \ne 0\) \[ \Leftrightarrow {\rm{cos}}\,{\rm{2}}x \ne  - 1\] \[ \Leftrightarrow 2x \ne \pi  + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\] \[ \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\].

Vậy TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)

a) Cho biết \(a + b = \frac{\pi }{3}\). Hãy tính giá trị của biểu thức \(T = \sin a.\sin b - \cos a.\cos b\).

Ta có: \(T = \sin a.\sin b - \cos a.\cos b =  - \cos (a + b)\).

Mà \(a + b = \frac{\pi }{3}\)\( \Rightarrow T =  - \cos \frac{\pi }{3} =  - \frac{1}{2}\).

b) Giải phương trình: \(\sin x + {\rm{cos}}\left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = 0\) .

Ta có :

     \(\sin x + {\rm{cos}}\left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \sin x =  - {\rm{cos}}\left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \sin x =  - \sin \left( {\frac{\pi }{6} - 2x} \right)\)

\( \Leftrightarrow \sin x = \sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2x - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \pi  - 2x + \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} - k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)