Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ.

Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho là:

Đáp án:

Chọn gốc tọa độ \(M\left( {0;0} \right)\) là trung điểm của cạnh \(AB\), trục \(Ox\) trùng với đường thẳng \(AB\) và trục \(Oy\) vuông góc với \(AB\) hướng về phía cạnh \(CD\) (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét).

• Điểm xuất phát của robot là \(M\left( {0;0} \right)\).
• Cạnh \(CD\) nằm trên đường thẳng \(y = 200\). Điểm đích là \(N\left( {{x_0};200} \right)\) với \( - 100 \le {x_0} \le 100\). Do tính chất đối xứng, ta chỉ cần xét \(0 \le {x_0} \le 100\).
• Bãi cát hình chữ nhật đối xứng qua trục \(Oy\), giới hạn bởi:
  • Chiều rộng (nằm ngang): từ \(x = - 40\) đến \(x = 40\).
  • Chiều dài (thẳng đứng): từ \(y = 40\) đến \(y = 160\) (vì bãi cát ở chính giữa khu đất, cách mỗi cạnh \(AB,CD\) một khoảng \(\frac{{200 - 120}}{2} = 40{\rm{\;m}}\)).

Phương trình đường thẳng của quỹ đạo chuyển động thẳng \(MN\) nối từ \(\left( {0;0} \right)\) đến \(\left( {{x_0};200} \right)\) là:

\(y = \frac{{200}}{{{x_0}}}x \Leftrightarrow x = \frac{{{x_0}}}{{200}}y\).

Đường thẳng \(MN\) đi vào bãi cát tại biên dưới \(y = 40\), hoành độ giao điểm là: \({x_1} = \frac{{40{x_0}}}{{200}} = \frac{{{x_0}}}{5}\).

Vì \(0 \le {x_0} \le 100\) nên \(0 \le {x_1} \le 20 \le 40\) (luôn đi vào từ cạnh đáy của bãi cát).

Đường thẳng \(MN\) sẽ đi ra khỏi bãi cát theo 2 trường hợp:

Trường hợp 1: \(0 \le {x_0} \le 50\)

Đường thẳng đi ra ở cạnh trên \(y = 160\).

• Quãng đường đi trên cát chiếm tỉ lệ cố định bằng \(\frac{{160 - 40}}{{200}} = \frac{3}{5}\) tổng quãng đường \(MN\).
• Thời gian đi toàn bộ hành trình là: \(t\left( {{x_0}} \right) = \frac{{\frac{2}{5}MN}}{3} + \frac{{\frac{3}{5}MN}}{2} = \frac{{13}}{{30}}MN = \frac{{13}}{{30}}\sqrt {x_0^2 + 40000} \).
• Hàm số này đồng biến trên \(\left[ {0;50} \right]\), đạt giá trị nhỏ nhất tại \({x_0} = 0\):

\(t\left( 0 \right) = \frac{{13}}{{30}} \cdot 200 = \frac{{260}}{3} \approx 86,67{\rm{\;gi\^a y}}\).

Trường hợp 2: \(50 < {x_0} \le 100\)

Đường thẳng đi ra ở cạnh bên \(x = 40\). Điểm ra có tung độ \({y_2} = \frac{{8000}}{{{x_0}}}\).

• Chiều dài đoạn đường đi trong cát là:

\({L_{{\rm{c\'a t}}}} = \sqrt {{{\left( {40 - \frac{{{x_0}}}{5}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{8000}}{{{x_0}}} - 40} \right)}^2}} = \frac{{200 - {x_0}}}{{5{x_0}}}\sqrt {x_0^2 + 40000} \).

• Tổng thời gian di chuyển trong trường hợp này là:

\(t\left( {{x_0}} \right) = \frac{{MN - {L_{{\rm{c\'a t}}}}}}{3} + \frac{{{L_{{\rm{c\'a t}}}}}}{2} = \frac{{MN}}{3} + \frac{{{L_{{\rm{c\'a t}}}}}}{6}\)\( = \left( {\frac{1}{3} + \frac{{200 - {x_0}}}{{30{x_0}}}} \right)\sqrt {x_0^2 + 40000} = \frac{{9{x_0} + 200}}{{30{x_0}}}\sqrt {x_0^2 + 40000} \).

Xét hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{9x + 200}}{x}\sqrt {{x^2} + 40000} \) trên khoảng \(\left( {50,100} \right]\):

Ta có \(g'\left( x \right) = \frac{{9{x^3} - 8000000}}{{{x^2}\sqrt {{x^2} + 40000} }}\).

Cho \(g'\left( x \right) = 0 \Rightarrow 9{x^3} = 8000000 \Leftrightarrow x = \frac{{200}}{{\sqrt[3]{9}}} \approx 96,15{\rm{\;m}}\) (thỏa mãn thuộc khoảng đang xét).

Thay giá trị \({x_0} \approx 96,15\) vào công thức tính thời gian \(t\left( {{x_0}} \right)\): \(a = t\left( {96,15} \right) \approx 81,95995{\rm{\;gi\^a y}}\).

Khi đó, giá trị của \(100a\) là: \(100a = 100 \times 81,95995 = 8195,995\).

Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, ta được 8196.

Đáp án: 8196.

Đáp án:

Hợp lực tác động lên mô hình tại đỉnh \(A\) của hình hộp chữ nhật được biểu diễn bằng vectơ:

\(\vec F = {\vec F_1} + {\vec F_2} + {\vec F_3}\).

Do các lực đôi một vuông góc với nhau (nằm trên các cạnh \(AB,AA',AD\) xuất phát từ đỉnh \(A\)), độ lớn của hợp lực \(\vec F\) tuân theo công thức Pythagore trong không gian:

\(\left| {\vec F} \right| = \sqrt {{{\left| {{{\vec F}_1}} \right|}^2} + {{\left| {{{\vec F}_2}} \right|}^2} + {{\left| {{{\vec F}_3}} \right|}^2}} = \sqrt {{2^2} + {2^2} + {3^2}} = \sqrt {4 + 4 + 9} = \sqrt {17} \approx 4,12{\rm{\;N}}\).

Đáp án: 4,12.