Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông \(ABCD\), cạnh đáy và các cạnh bên đều bằng \(a\). Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(SD\). Giá trị của tích vô hướng \(\overrightarrow {MN} \cdot \overrightarrow {SC} \) bằng bao nhiêu?

Theo bài ra ta xác định được \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {2;0;0} \right)\), \(D\left( {0;4;0} \right)\), \(A'\left( {0;0;2} \right)\).

a) Sai. Theo quy tắc hình bình hành áp dụng cho hình chữ nhật \(ABCD\) ở đáy, ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \). Do đó khẳng định bằng \(2\overrightarrow {AC} \) là sai.

b) Đúng. Đây chính là quy tắc hình hộp trong hình học không gian.

c) Đúng. Tọa độ các đỉnh: \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {2;0;0} \right)\), \(D\left( {0;4;0} \right) \Rightarrow C\left( {2;4;0} \right)\).

\(A'\left( {0;0;2} \right) \Rightarrow C'\left( {2;4;2} \right)\).

\(E\) là tâm đáy \(ABCD\) (trung điểm \(AC\)) \( \Rightarrow E\left( {1;2;0} \right)\).

\(F\) là trung điểm \(AC' \Rightarrow F\left( {1;2;1} \right)\).

Tọa độ vectơ \(\overrightarrow {EF} = \left( {1 - 1;2 - 2;1 - 0} \right) = \left( {0;0;1} \right)\).

d) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {AC} = \left( {2;4;0} \right) \Rightarrow 2\overrightarrow {AC} = \left( {4;8;0} \right)\).

Điểm \(B'\left( {2;0;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB'} = \left( {2;0;2} \right) \Rightarrow 3\overrightarrow {AB'} = \left( {6;0;6} \right)\).

Suy ra \(\vec u = 2\overrightarrow {AC} - 3\overrightarrow {AB'} = \left( {4 - 6;8 - 0;0 - 6} \right) = \left( { - 2;8; - 6} \right)\).

Độ dài của \(\vec u\) là: \(\left| {\vec u} \right| = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {8^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} = \sqrt {4 + 64 + 36} = \sqrt {104} = 2\sqrt {26} \).

a) Sai. Nhìn vào đồ thị, tại điểm \(x = 0\), đồ thị lõm xuống dưới và đổi dấu đạo hàm từ âm sang dương, hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = 0\) và giá trị cực tiểu tương ứng \(y = 1\).

b) Đúng. Trên đồ thị ta thấy giao điểm với trục tung \(Oy\) nằm tại vị trí có tung độ bằng \(1\), nên tọa độ là \(\left( {0;1} \right)\).

c) Sai. Trong khoảng từ \( - \infty \) đến \( - 1\), đồ thị hàm số vừa đi lên vừa đi xuống nên không thể đồng biến trên khoảng này.

d) Sai. Dựa vào đồ thị, ta xác định được các điểm đặc biệt sau:

• Đồ thị đi qua điểm \(\left( {0;1} \right)\) và đây đồng thời là điểm cực tiểu của hàm số.
  • Vì đi qua \(\left( {0;1} \right)\) nên \(f\left( 0 \right) = d = 1\).
  • Vì đạt cực trị tại \(x = 0\) nên \(f'\left( 0 \right) = c = 0\).
• Đồ thị đi qua điểm \(\left( { - 1;2} \right) \Rightarrow f\left( { - 1} \right) = 2 \Leftrightarrow - a + b + 1 = 2 \Leftrightarrow - a + b = 1\) (1).
• Đồ thị đi qua điểm \(\left( { - 2;1} \right) \Rightarrow f\left( { - 2} \right) = 1 \Leftrightarrow - 8a + 4b + 1 = 1 \Leftrightarrow - 8a + 4b = 0\) (2).

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} - a + b = 1\\ - 8a + 4b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\end{array} \right.\).

Vậy hàm số cụ thể là: \(y = {x^3} + 2{x^2} + 1\).

Thay các hệ số vừa tìm được (\(a = 1,b = 2,c = 0\)) vào biểu thức: \(2a + 3b + c = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 0 = 8 \ne 9\).