Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hình thang \(ABCD\) có hai đáy \(AB,CD\); tọa độ ba đỉnh \(A\left( {1;2;0} \right),\) \(B\left( {2;0; - 2} \right)\), \(C\left( {6;1; - 1} \right)\). Biết hình thang có diện tích bằng \(6\sqrt 2 \). Giả sử đỉnh \(D\left( {a;b;c} \right)\). Tính \(P = 3a + b - c\).

Vì \(ABCD\) là hình thang có hai đáy là \(AB\) và \(CD\) nên cạnh \(CD\) song song với \(AB\).

Ta có vectơ đáy: \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 2; - 2} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = 3\).

Đường thẳng \(CD\) đi qua \(C\left( {6;1; - 1} \right)\) và nhận \({\vec u_{CD}} = \overrightarrow {AB} = \left( {1; - 2; - 2} \right)\) làm vectơ chỉ phương.

Do đó điểm \(D\) thuộc đường thẳng \(CD\) có tọa độ dạng tham số: \(D\left( {6 + t;1 - 2t; - 1 - 2t} \right)\).

Vectơ \(\overrightarrow {CD} = \left( {t; - 2t; - 2t} \right)\). Nhận thấy \(\overrightarrow {CD} = t \cdot \overrightarrow {AB} \). Độ dài đáy \(CD = \left| t \right| \cdot AB = 3\left| t \right|\).

Chiều cao \(h\) của hình thang chính là khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(CD\).

Ta có: \(\overrightarrow {AC} = \left( {5; - 1; - 1} \right)\).

Tính tích có hướng để tính khoảng cách: \(\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {0;9; - 9} \right)\).

Khoảng cách từ \(A\) đến \(CD\) là: \(h = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} = \frac{{\sqrt {{0^2} + {9^2} + {{\left( { - 9} \right)}^2}} }}{3} = \frac{{9\sqrt 2 }}{3} = 3\sqrt 2 \).

Diện tích hình thang \(ABCD\):

\(S = \frac{{\left( {AB + CD} \right) \cdot h}}{2} = 6\sqrt 2 \Leftrightarrow \frac{{\left( {3 + 3\left| t \right|} \right) \cdot 3\sqrt 2 }}{2} = 6\sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow 3\left( {1 + \left| t \right|} \right) \cdot \frac{3}{2} = 6 \Leftrightarrow 1 + \left| t \right| = \frac{4}{3} \Leftrightarrow \left| t \right| = \frac{1}{3}\).

Vì hình thang \(ABCD\) có các đỉnh theo thứ tự vòng tròn nên vectơ \(\overrightarrow {CD} \) ngược hướng với \(\overrightarrow {AB} \), tức là \(t < 0 \Rightarrow t = - \frac{1}{3}\).

Thay \(t = - \frac{1}{3}\) vào tọa độ điểm \(D\):

\(a = 6 - \frac{1}{3} = \frac{{17}}{3}\)

\(b = 1 - 2 \cdot \left( { - \frac{1}{3}} \right) = \frac{5}{3}\)

\(c = - 1 - 2 \cdot \left( { - \frac{1}{3}} \right) = - \frac{1}{3}\)

Tính biểu thức \(P\): \(P = 3a + b - c = 3 \cdot \left( {\frac{{17}}{3}} \right) + \frac{5}{3} - \left( { - \frac{1}{3}} \right) = 17 + \frac{5}{3} + \frac{1}{3} = 19\).

Kết quả: 19.