Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị của đạo hàm là một parabol như hình bên dưới.
Tìm giá trị cực đại của hàm số \(y = f\left( x \right)\) biết \(f\left( 0 \right) = \frac{{13}}{6}\) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đạo hàm của hàm số bậc ba là một hàm số bậc hai có dạng: \(f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c\).
Vì đồ thị đạo hàm cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ \(x = - 1\) và \(x = 2\), nên phương trình đạo hàm có dạng: \(f'\left( x \right) = k\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = k\left( {{x^2} - x - 2} \right)\).
Mặt khác, đồ thị \(f'\left( x \right)\) cắt trục tung tại điểm \(\left( {0; - 2} \right)\), suy ra: \(f'\left( 0 \right) = - 2 \Rightarrow - 2k = - 2 \Rightarrow k = 1\).
Do đó: \(f'\left( x \right) = {x^2} - x - 2\). Đồng nhất hệ số ta được \(\left\{ \begin{array}{l}3a = 1\\2b = - 1\\c = - 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{1}{3}\,\,\,\,}\\\begin{array}{l}b = - \frac{1}{2}\\c = - 2\end{array}\end{array}} \right.\).
Theo đề bài \(f\left( 0 \right) = \frac{{13}}{6} \Rightarrow d = \frac{{13}}{6}\).
Như vậy \(f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}{x^2} - 2x + \frac{{13}}{6}\).
Từ đồ thị ta thấy \(f'\left( x \right)\) đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm \(x = - 1\). Do đó hàm số đạt cực đại tại \(x = - 1\).
Giá trị cực đại của hàm số là \(f\left( { - 1} \right)\): \(f\left( { - 1} \right) = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^3}}}{3} - \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^2}}}{2} - 2 \cdot \left( { - 1} \right) + \frac{{13}}{6} = \frac{{10}}{3} \approx 3,33\).
Kết quả: 3,33.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập