Trong một cuộc thi làm đồ dùng học tập do trường phát động, bạn Nam làm một hình chóp tứ giác đều \(S.EFGH\) bằng cách sử dụng một tấm bìa hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng \(5{\rm{\;cm}}\) và cắt tấm bìa theo các tam giác cân \(AEB,BFC,CGD,DHA\). Sau đó ban gấp các tam giác \(AEH,BEF,CFG,DGH\) sao cho bốn đỉnh \(A,B,C,D\) trùng nhau tạo thành đỉnh \(S\) của khối chóp tứ giác đều như hình bên dưới.

Thể tích lớn nhất của khối chóp tứ giác đều tạo thành bằng bao nhiêu \({\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\)? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Gọi tâm của hình vuông tấm bìa \(ABCD\) ban đầu là \(O\). Đây cũng chính là tâm hình vuông đáy \(EFGH\) của khối chóp sau khi dựng lên.

Xét trục tọa độ thẳng đứng đi qua \(O\). Gọi khoảng cách từ tâm \(O\) đến các đỉnh của hình vuông đáy \(EFGH\) là \({y_E}\) (\(OE = OF = OG = OH = {y_E}\)).

Khi đó đáy hình vuông \(EFGH\) có độ dài đường chéo là \(2{y_E}\).

Diện tích của hình vuông đáy \(EFGH\) là: \({S_{EFGH}} = \frac{1}{2} \cdot {\left( {2{y_E}} \right)^2} = 2y_E^2\).

Khi gấp các tam giác cân lên, các đỉnh \(A,B,C,D\) chụm lại thành đỉnh đỉnh chóp \(S\) nằm trên trục thẳng đứng đi qua \(O\).

Độ dài cạnh bên của hình chóp chính bằng khoảng cách từ đỉnh của tấm bìa (ví dụ điểm \(A\)) tới điểm gấp \(E\).

Trong mặt phẳng tấm bìa phẳng ban đầu, tọa độ điểm \(A\) so với tâm \(O\left( {0;0} \right)\) là \(\left( { - 2,5;2,5} \right)\) nên \(O{A^2} = 2,{5^2} + 2,{5^2} = 12,5\).

Khoảng cách giữa \(A\) và \(E\) trên tấm bìa phẳng là cạnh bên của khối chóp sau khi xếp:

\(S{A^2} = A{E^2} = 2,{5^2} + {\left( {2,5 - {y_E}} \right)^2} = 6,25 + 6,25 - 5{y_E} + y_E^2 = 12,5 - 5{y_E} + y_E^2\).

Trong khối chóp đều \(S.EFGH\), chiều cao \(h = SO\) của khối chóp được tính bằng hệ thức lượng vuông góc:

\({h^2} = S{E^2} - O{E^2} = S{A^2} - y_E^2 = \left( {12,5 - 5{y_E} + y_E^2} \right) - y_E^2 = 12,5 - 5{y_E}\).

Thể tích của khối chóp tứ giác đều thu được là: \(V = \frac{1}{3} \cdot {S_{EFGH}} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 2y_E^2 \cdot \sqrt {12,5 - 5{y_E}} \).

Để tìm thể tích lớn nhất, ta xét hàm số \(f\left( {{y_E}} \right) = y_E^4\left( {12,5 - 5{y_E}} \right)\).

Đạo hàm theo biến \({y_E}\): \(f'\left( {{y_E}} \right) = 4y_E^3\left( {12,5 - 5{y_E}} \right) + y_E^4 \cdot \left( { - 5} \right) = 50y_E^3 - 20y_E^4 - 5y_E^4 = 50y_E^3 - 25y_E^4\).

Ta có \(f'\left( {{y_E}} \right) = 0 \Leftrightarrow 25y_E^3\left( {2 - {y_E}} \right) = 0 \Leftrightarrow {y_E} = 2{\rm{\;(cm)}}\).

Thay \({y_E} = 2\) vào công thức tính thể tích, ta thu được thể tích cực đại:

\({V_{{\rm{max}}}} = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot {2^2} \cdot \sqrt {12,5 - 5 \cdot 2} = \frac{8}{3} \cdot \sqrt {2,5} = \frac{8}{3} \cdot \frac{{\sqrt {10} }}{2} = \frac{{4\sqrt {10} }}{3} \approx 4,216{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^3}\)

Làm tròn kết quả đến hàng phần mười, thể tích lớn nhất bằng \(4,2{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^3}\).

Kết quả: 4,2.