Trong không gian \(Oxyz\), cho bốn điểm \(A\left( {2; - 3;7} \right),B\left( {0;4;1} \right),C\left( {3;0;5} \right)\) và \(D\left( {3;3;3} \right)\).
Tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) là \(G\left( {\frac{5}{3};\frac{1}{3};\frac{{13}}{3}} \right)\).
Gọi \(E,F\) lần lượt là trung điểm hai cạnh \(AB\) và \(CD\). Khi đó độ dài \(EF = \sqrt 8 \).
\(ACB\) là góc nhọn.
\(M\left( {a;b;c} \right)\) là điểm thuộc trục tung sao cho biểu thức \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(m\). Khi đó \(\frac{{a + b + c}}{m} < 0,06\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) ĐÚNG: Ta có \({x_G} = \frac{{2 + 0 + 3}}{3} = \frac{5}{3}\); \({y_G} = \frac{{ - 3 + 4 + 0}}{3} = \frac{1}{3}\); \({z_G} = \frac{{7 + 1 + 5}}{3} = \frac{{13}}{3}\). Vậy \(G\left( {\frac{5}{3};\frac{1}{3};\frac{{13}}{3}} \right)\).
b) SAI:
\(E\) là trung điểm \(AB \Rightarrow E\left( {1;\frac{1}{2};4} \right)\).
\(F\) là trung điểm \(CD \Rightarrow F\left( {3;\frac{3}{2};4} \right)\).
\(\overrightarrow {EF} = \left( {2;1;0} \right) \Rightarrow EF = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {0^2}} = \sqrt 5 \ne \sqrt 8 \).
c) SAI: Ta có \(\overrightarrow {CA} = \left( { - 1; - 3;2} \right)\) và \(\overrightarrow {CB} = \left( { - 3;4; - 4} \right)\).
Suy ra \(\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CB} = \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 3} \right) + \left( { - 3} \right) \cdot \left( 4 \right) + 2 \cdot \left( { - 4} \right) = 3 - 12 - 8 = - 17 < 0\).
Vì tích vô hướng âm nên \(\widehat {ACB}\) là góc tù.
d) ĐÚNG: Gọi \(I\) là trọng tâm của hệ 4 điểm \(A,B,C,D\), tức là ta có \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = \overrightarrow 0 \).
Ta xác định được \({x_I} = \frac{{2 + 0 + 3 + 3}}{4} = 2;\quad {y_I} = \frac{{ - 3 + 4 + 0 + 3}}{4} = 1;\quad {z_I} = \frac{{7 + 1 + 5 + 3}}{4} = 4 \Rightarrow I\left( {2;1;4} \right)\).
Ta có: \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right| = \left| {4\overrightarrow {MI} } \right| = 4MI\).
Vì \(M \in Oy \Rightarrow M\left( {0;b;0} \right)\). Do đó \(MI = \sqrt {{2^2} + {{\left( {1 - b} \right)}^2} + {4^2}} = \sqrt {{{\left( {1 - b} \right)}^2} + 20} \).
\(MI\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\sqrt {20} \) khi \(b = 1\).
Vậy \(M\left( {0;1;0} \right) \Rightarrow a = 0,b = 1,c = 0\) và giá trị nhỏ nhất \(m = 4\sqrt {20} = 8\sqrt 5 \).
Tỷ số: \(\frac{{0 + 1 + 0}}{{8\sqrt 5 }} = \frac{1}{{8\sqrt 5 }} \approx 0,0559 < 0,06\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập