Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2{x^2} + x}}{{x + 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\).
Đồ thị \(\left( C \right)\) có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = - 1\).
Hàm số đã cho có hai điểm cực trị.
Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị và tiệm cận đứng của đồ thị \(\left( C \right)\) cắt nhau tại điểm có tung độ bằng 3.
Gọi \(M\) là điểm trên đồ thị \(\left( C \right)\) có hoành độ bằng 1. Khi đó khoảng cách từ điểm \(M\) đến đường tiệm cận xiên của đồ thị \(\left( C \right)\) bằng \(\frac{1}{{2\sqrt 5 }}\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) ĐÚNG: Mẫu số bằng \(0 \Leftrightarrow x = - 1\). Vì tử số tại \(x = - 1\) bằng \(2 \cdot {\left( { - 1} \right)^2} + \left( { - 1} \right) = 1 \ne 0\) nên \(x = - 1\) là tiệm cận đứng.
b) ĐÚNG: Đạo hàm: \(y' = \frac{{\left( {4x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {2{x^2} + x} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^2} + 4x + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).
\(y' = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} + 4x + 1 = 0\) có \({\rm{\Delta '}} = 4 - 2 = 2 > 0\), suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt khác \( - 1\). Do đó hàm số có 2 điểm cực trị.
c) SAI: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số dạng phân thức \(y = \frac{{u\left( x \right)}}{{v\left( x \right)}}\) có phương trình là \(y = \frac{{u'\left( x \right)}}{{v'\left( x \right)}} = \frac{{4x + 1}}{1} = 4x + 1\).
Giao điểm của đường thẳng này với tiệm cận đứng \(x = - 1\) có tung độ là: \(y = 4 \cdot \left( { - 1} \right) + 1 = - 3 \ne 3\).
d) ĐÚNG: Ta có \(y = \frac{{2{x^2} + x}}{{x + 1}} = 2x - 1 + \frac{1}{{x + 1}}\).
Suy ra tiệm cận xiên là \({\rm{\Delta }}:y = 2x - 1 \Leftrightarrow 2x - y - 1 = 0\).
Với \({x_M} = 1 \Rightarrow {y_M} = \frac{3}{2} \Rightarrow M\left( {1;\frac{3}{2}} \right)\).
Khoảng cách từ \(M\) đến \({\rm{\Delta }}\): \(d\left( {M,{\rm{\Delta }}} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot 1 - \frac{3}{2} - 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\frac{1}{2}}}{{\sqrt 5 }} = \frac{1}{{2\sqrt 5 }}\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập