Một ngôi nhà gỗ nhỏ gồm hai phần. Phần thân nhà có dạng hình hộp chữ nhật \(ABCD.OMNK\) có chiều dài \(OK\) bằng \(6{\rm{\;m}}\), chiều rộng \(OM\) bằng \(4{\rm{\;m}}\), chiều cao \(3{\rm{\;m}}\). Phần mái nhà có dạng hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh bên bằng nhau và có chiều cao bằng \(2,5{\rm{\;m}}\). Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) sao cho \(M\) thuộc tia \(Ox\), \(K\) thuộc tia \(Oy\), \(A\) thuộc tia \(Oz\) (như hình vẽ) (mỗi đơn vị độ dài trên hệ trục ứng với \(1{\rm{\;m}}\)). Tìm \(\cos \widehat {MSK}\) (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ với gốc \(O\left( {0;0;0} \right)\), ta có:
- \(M\left( {4;0;0} \right)\) (do chiều rộng \(OM = 4\)).
- \(K\left( {0;6;0} \right)\) (do chiều dài \(OK = 6\)).
- Đỉnh mái \(S\) chiếu xuống tâm hình chữ nhật đáy của mái \(ABCD\). Tọa độ hình chiếu là trung điểm đáy hình hộp chữ nhật có tọa độ hình chiếu vuông góc là \(\left( {2;3} \right)\). Vì chiều cao phần dưới là \(3\) và phần mái cao \(2,5\) nên cao độ của \(S\) là \(3 + 2,5 = 5,5\). Vậy \(S\left( {2;3;5,5} \right)\).
Tính tích vô hướng và độ dài:
\(\overrightarrow {SM} \cdot \overrightarrow {SK} = 2 \cdot \left( { - 2} \right) + \left( { - 3} \right) \cdot 3 + \left( { - 5,5} \right) \cdot \left( { - 5,5} \right) = - 4 - 9 + 30,25 = 17,25\);
\(\left| {\overrightarrow {SM} } \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 5,5} \right)}^2}} = \sqrt {4 + 9 + 30,25} = \sqrt {43,25} \); \(\left| {\overrightarrow {SK} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {3^2} + {{\left( { - 5,5} \right)}^2}} = \sqrt {43,25} \).
Vậy \(\cos \widehat {MSK} = \cos \left( {\overrightarrow {SM} ,\overrightarrow {SK} } \right) = \frac{{\overrightarrow {SM} \cdot \overrightarrow {SK} }}{{\left| {\overrightarrow {SM} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {SK} } \right|}} = \frac{{17,25}}{{43,25}} = \frac{{69}}{{173}} \approx 0,4\).
Đáp số: 0,4.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập